Энциклопедия Кольера - прогрессия

последовательность чисел, получаемых по некоторому правилу. Термин ныне во многом устарел и встречается только в сочетаниях "арифметическая прогрессия" и "геометрическая прогрессия". Арифметическая прогрессия это последовательность чисел, в которой каждый член получается из предыдущего путем прибавления к нему одного и того же числа, называемого разностью этой арифметической прогрессии, например 1, 2, 3, 4, ј или 2, 5, 8, 11, 14, ј (многоточие означает "и т.д."). Разность между последовательными членами необязательно должна быть положительной, например, для прогрессии 3, 1, -1, -3, -5, ј она равна -2. Геометрическая прогрессия это последовательность чисел, каждое из которых равно предыдущему, умноженному на некоторое постоянное для данной прогрессии число, называемое знаменателем прогрессии, например 5, 10, 20, 40, 80, ј или 5, -10, 20, -40, 80, ј (в первом случае знаменатель равен 2, во втором равен -2).

Формулы. Рассмотрим n членов арифметической прогрессии. Пусть a первый член, l последний член и d разность между последовательными членами.

Тогда l = a +(n 1) d.

Сумма первых n членов прогрессии вычисляется следующим образом: 0) тремя последовательными членами геометрической прогрессии. Средние члены (a + b)/2 и называются соответственно средним арифметическим и средним геометрическим чисел a и b. (Арифметическое среднее совпадает с обычным средним.)

Другие прогрессии.

Множество чисел иногда называется гармонической прогрессией, если величины, обратные этим числам, являются членами арифметической прогрессии. Например, числа 1, 1/2, 1/3, 1/4, ј образуют гармоническую прогрессию. Числа a, 2ab/(a + b) и b являются тремя последовательными членами гармонической прогрессии, а средний член называется гармоническим средним чисел a и b.

Для суммы первых n членов гармонической прогрессии простой формулы не существует, но разность между суммой первых n членов и натуральным логарифмом числа n

.