Математическая энциклопедия - устойчивость при постоянно действующих возмущениях

свойство решения x0(t), начальной задачи

состоящее в следующем. Для всякого найдется такое, что для всякой точки y0, удовлетворяющей неравенству и всякого отображения g(x, t), удовлетворяющего условиям:

а) gи g'x непрерывны на множестве

б)

решение y0(t)начальной задачи

определено при всех и удовлетворяет неравенству

Теорема Боля [1]. Пусть начальная задача (*), имеющая решение удовлетворяет условиям:

а) f и f'x непрерывны на при нек-ром

б)

в) отображение f дифференцируемо по хв точках (x0(t), t )при равномерно относительно т. е.

Тогда для того чтобы решение этой начальной задачи было устойчиво при постоянно действующих возмущениях, необходимо и достаточно, чтобы верхний особый показатель системы уравнений в вариациях системы вдоль решения х 0(t)был меньше нуля. Если f( х, t )не зависит от t(автономная система) и решение x0(t) - периодическое или постоянное, а также если f(x, t)периодическая по tфункция и решение z0(t) - периодическое с тем же (или с соизмеримым) периодом или постоянное, то: а) указанное в теореме Боля условие равномерной дифференцируемости лишнее (оно вытекает из остальных условий теоремы), б) верхний особый показатель системы уравнений в вариациях системы вдоль решения x0(t)вычисляется аффективно.

Лит.:[1] Воhl Р., лJ. reine und angew. Math.

Математическая энциклопедия. — М.: Советская энциклопедия

И. М. Виноградов

1977—1985