Энциклопедия эпистемологии и философии науки - абстракция потенциальной осуществимости

Как правило, неограниченное развитие какого-либо конструктивного процесса, являющегося конкретным воплощением этой идеи, требует проведения анализа все возрастающего количества составляющих этот процесс конструктивных актов и попытки реального осущестевления этого анализа даже в том случае, когда начальные шаги процесса осуществимы фактически, рано или поздно сталкиваются с препятствиями чисто материального характера: для совершения очередного шага этого анализа начинает недоставать времени, места и материала. Абстракция потенциальной осуществимости представляет собой способ, позволяющий отвлечься от всей совокупности осложнений указанного рода полностью, считать их несущественными. Тем самым шаги, осуществимость которых носит лишь воображаемый характер, начинают мыслиться совместно и равноправно с реально выполнимыми.

Для примера мы разберем простейший вопрос из простейшей области математики — из арифметики. А именно, вопрос о том, как в рамках рассматриваемых нами представлений может быть простейшим образом определено простейшее ее понятие — понятие натурального числа. Вопроса о «системах счисления» — напр., о «десятичной» или даже «двоичной» — мы для большей простоты касаться не будем. Как правило, не будем касаться и выполнения арифметических операций.

Мы начнем с определения положительных целых чисел. Для этого мы возьмем один-единственный знак «I» («палочку») и положительными целыми числами мы будем называть следующие горизонтальные знакосочетания: I, II, III, IIII и т.д. Каждое из них может быть получено, исходя из предыдущего, путем приписывания к нему справа еще одной «палочки» — « I ». Эти знакосочетания мы и будем считать положительными целыми числами: «один», «два», «три» и «четыре».

Чтобы получить натуральные числа, мы к имеющемуся у нас знаку «I» добавим еще один четко отличающийся от него знак «О» — «овал». Натуральными числами мы теперь будем считать как этот знак «О» (и это будет число «нуль»), так и всякое знакосочетание, состоящее из нуля и приписанного к нему справа положительного целого числа. (Если же допускать и «письмо справа-налево», то можно будет и к положительному целому числу приписывать нуль слева; этот факт можно было бы точно доказать без выхода за границы рассматриваемой нами абстракции, но мы этого делать не станем.)

Этой несколько непривычной для нас системой записи натуральных чисел мы здесь и будем пользоваться. В ней будут нестандартным образом следовать друг за другом д в а различных знака — «О» и «I» — в их приводимых ниже «комбинациях». Заметим, однако, что здесь будет легко усматриваться определенная «правильность» в следовании их друг за другом: сначала 0 (нуль); затем 01 (один); затем Oil (два); затем 0Iff (три), затем ОНИ (четыре) и т.д. А кроме того, в них будет просматриваться и операция перехода в них к следующему числу путем приписывания к нему справа знака «I».

И мысленно рассматривая конструктивный процесс построения натурального ряда — «нуль», «один», «два», «три», «четыре» и т.д. — (процесса, принципиально незавершаемого), мы принимаем решение, что совместно и равноправно со всяким натуральным числом п мы будем рассматривать и непосредственно следующее за ним (натуральное же) число, получаемое нами в результате прибавления к п справа «единицы» — т.е. натурального числа «один».

Мысленно осуществляя вывод в рамках какой-либо формальной дедуктивной теории, мы принимаем решение считать, что вслед за любым шагом этого вывода может быть совершен и еще один — следующий за ним. То же самое абстракция потенциальной осуществимости разрешает делать и в применении к любому другому конструктивному процессу. А именно, вообразив выполненным определенный этап этого процесса, мы соглашаемся мыслить процесс продвинувшимся (согласно правилам его развертыания) и еще на один шаг.

В логическом аспекте принятие абстракции потенциальной осуществимости ведет к обоснованию метода так называемой полной — или совершённой — индукции. Наряду с абстракцией отождествления, абстракция потенциальной осуществимости является необходимой предпосылкой построения теории конструктивных процессов и конструктивных объектов, что определяет ту исключительную роль, которую она сыграла в развитии АЛ. Марковым его конструктивного направления в математике, в котором в качестве объектов рассмотрения допускаются лишь конструктивные объекты, а высказывания об их существовании понимаются лишь как высказывания об их потенциальной осуществимости. Однако во избежание недоразумений отметим, что в отдельных, особенно простых ситуациях абстракция потенциальной осуществимости могла применяться и в теоретико-множественной программе Г. Кантора, н что уровень абстрактности любой теории должен измеряться максимальной степенью употребляемых в данной программе абстракций. В случае Кантора это абстракция актуальной бесконечности.

Впервые термин «абстракция потенциальной осуществимости» был введен в рассмотрение АЛ. Марковым во 2-й половине 40-х гг. 20 столетия в ходе анализа математических абстракций, предпринятого им в связи с разработкой основ уже упоминавшегося выше его конструктивного направления в математике. Отмечая, что абстракция потенциальной осуществимости, как и абстракция актуальной бесконечности, включает в себя известный элемент воображения, он тем не менее указывал на то, что в отношении отхода от действительности абстракции эти находятся на двух качественно различных уровнях. Его размышления того времени в силу сложившейся тогда в науке ситуации были опубликованы лишь в 1958. «Абстракции необходимы в математике, — писал он, — однако они не должны проводиться ради них самих и заводить туда, откуда нет возврата на "землю". Мы всегда должны помнить о переходе от абстрактного мышления к практике, как о необходимом этапе познания человеком объективной действительности». Там же он дал глубочайший прогноз дальнейшего развития основ математического анализа. К настоящему времени прогноз этот подтвердился самым блестящим образом.

Н.М. Нагорный

Лит.: Марков А.А. Теория алгорифмов // Тр. математического института им. В. А. Стеклова АН СССР. Т. 42. М.— Л., 1954.; Он же. О конструктивных функциях. Там же. Т. 52. М. — Л., 1958.; Он же. О конструктивной математике // Там же. Т. 62. М. — Л., 1962.; О логике конструктивной математики. М., 1962.; Марков А.А., Нагорный Н.М. Теория алгорифмов. М., 1984 (2-е изд. 1996); Шанин НА. Конструктивные вещественные числа и конструктивные функциональные пространства // Тр. математического института им. В. А. Стеклова АН СССР. Т. 67. М.—Л., 1962.

Энциклопедия эпистемологии и философии науки. М.: «Канон+», РООИ «Реабилитация»

И.Т. Касавин

2009