Энциклопедия эпистемологии и философии науки - логика многозначная

К двум истинностным значениям — 1 (истина) и 0 (ложь) — Лукасевич добавляет третье, промежуточное, истинностное значение '/,, интерпретируемое как «возможность». Исходными логическими связками являются —» (импликация) и логика многозначная (отрицание). Оставляя классические значения для импликации —> и отрицания логика многозначная, когда аргументы принимают значения и з множества 0, 1 , Лукасевич следующим образом доопределяет логические связки:

(1-*72) = ( 7 2 0 ) = 72,

( 0 7 2 ) = (72-*72) = ( 7 2 1 ) = 1, логика многозначная7 = 7.

2 'г

Посредством исходных связок определяются v (дизъюнкция), л (конъюнкция) и = (эквиваленция): р v q = (р q) -> q,p л q = логика многозначнаялогика многозначнаяр v логика многозначнаяq), р q = (рq) л (q-p).

Связки р v q up л q, как и в С2, есть гаях и min соответственно от значений р и q. Формула А является общезначимой (тавтологией), если при любом приписывании значений из множества 1,72,0 переменным, входящим в А, формула А принимает значение 1. Трехзначная логика Лукасевича обозначается посредством Ь3.

Логика L3 оказалась весьма необычной; например, в ней не имеют места ни закон исключенного третьего р v логика многозначнаяр, ни закон непротиворечия логика многозначнаяр л логика многозначнаяр). Отметим, что, в отличие от С2 множество связок логика многозначная, л, v недостаточно для определения —».

В 1931 L была аксиоматизирована М. Вайсбергом. Обобщение на п-значный случай было сделано Лукасевичем в 1922, где в качестве истинностных значений выступают дробные числа 0, 1/я-1,..., n-2/n-l, 1 . Для х, у из этого множества мы имеем: х —> у = min(l, 1 х + у), логика многозначнаях = 1-х.

Непосредственным обобщением С2 является п-значная логика Поста Р (1921), где в качестве истинностных значений выступают натуральные числа 0,1,..., п—1, а исходными связками являются дизъюнкция и отрицание: х v у = тах(х, у) и — о с = х + 1 (mod n).

Изучение L иР составило важнейший этап в развитии теории М. л. Основной проблемой здесь остается интерпретация истинностных значений (первая работа в этой области принадлежит А.А. Зиновьеву, 1959). Для широкого класса М. л. эта проблема решена А.С. Карпенко (1983) в терминах классических истинностных значений.

Теперь перейдем к общей теории М. л. Система М = < М, v, л, ZD, — I, D > называется логической матрицей, где М • множество истинностных значений; D с М есть множество выделенных значений; v, л, з • двуместные, а — 1 С одноместная операции на М. Функция оценки v формул в матрице М и общезначимость определяются обычным образом (см. Логика высказываний). Логическая матрица называется характеристической для исчисления высказываний L, если общезначимы те, и только те, формулы, которые выводимы в L.

При изучении М. л. понятие функции является основным и наряду с булевыми функциями (функциями двузначной логики) используется для описания дискретных устройств, компоненты которых могут находиться в некотором числе различных состояний. Произвольная функция Дх..., х ) от любого конечного числа переменных, областью определения которых и областью значения самой функции является множество М = 0, 1, 2,..., п—1, называется и-значной функцией, или функцией и-значной логики. Функция, полученная из функций/,...,/ подстановкой их друг в друга и/или переименованием аргументов, называется суперпозицией/,...,/..

Для многих специалистов, связанных с вычислительной техникой, инженеров, прикладных математиков и физиков большее значение имеет представление М. л. в виде функциональной системы, обозначаемой (Р, Q, где Р есть множество всех функций и-значной логики с заданной на нем операцией суперпозиции С, а сама функциональная система (Р, С) зачастую отождествляется с М. л.

Важнейшее свойство функциональной системы есть свойство функциональной полноты. Система функций R = f j,..., fk,... из Рп называется функционально полной, если любая функция из Рп представима посредством суперпозиций функций из системы R. Логика Поста Р, как и С2, является функционально полной. Отсюда их исключительно широкое применение и развитие, поскольку можно реализовать любую релейно-контактную схему.

С понятием полноты связано понятие операции замыкания и замкнутого класса. Пусть R cz P. Множество всех функций, которые могут быть получены из функций системы R с помощью операции суперпозиции, называется замыканием R и обозначается [R]. Класс функций 5? называется (функционально) замкнутым, если [R] = R.

Сложной технической проблемой для и-значных логик остается распознавание полноты для произвольных систем. Система R функций называется предполной в Рп, если R представляет не полную систему, но добавление к R любой функции f такой, что f е Рпи f g R преобразует R в полную систему. Важная роль предполных классов функций видна из следующей теоремы, которая формулирует критерий функциональной полноты: система функций R и-значной логики полна т.т.т, когда она не содержится целиком ни в одном предполном классе. Г. Розенбергом в 1970 было дано описание всех предполных классов в и-значной логике.

В 1970 относительно логик t B. K. Финном была установлена связь функциональной предполноты с простыми числами. Следствия из этого открытия оказались совсем неожиданными (см. Карпенко А.С. Логики Лукасевича и простые числа. М., 2007).

Глобальной задачей для М. л. остается описание решетки замкнутых классов функций. Для двузначной логики эта задача полностью решена Постом в начале 20-х гг., где установлено, что мощность множества замкнутых классов в Р2 счетна, а позже дается полное описание решетки замкнутых классов. Однако с М. л дело обстоит совсем по-другому. Оказалось, что имеются существенные различия между С2 и М. л., говорящие о принципиальной несводимости второй к первой: уже Р содержит континуум замкнутых классов. Таким образом, за счет добавления только одного истинностного значения к С осуществляется переход от счетности к континуальности, от дискретности к непрерывности!

Особый интерес в силу их различных приложений представляют собой бесконечнозначные логики. Исторически первой такой логикой была бесконечнозначная логика Лукасевича L (1929), в которой множеством истинностных значений является замкнутый интервал [0, 1]. Другим интересным и весьма важным примером является интуиционистская логика.

В заключение заметим, что ни одно из направлений неклассических логик так бурно не развивается, как М. л. Это объясняется всевозможными приложениями и применениями М. л в различных областях науки и техники, в теории множеств (доказательство независимости аксиом), при решении теоретико-множественных парадоксов (трехзначная логика Д.А. Бочвара, 1938), в лингвистике, в медицинской диагностике и особенно в компьютерных науках.

А.С. Карпенко

Лит.: Бочвар Д.А., Финн В.К. О многозначных логиках, допускающих формализацию анализа антиномий // Исследования по математической лингвистике, математической логике и информационным языкам. М., 1972; Зиновьев А.А. Философские проблемы многозначной логики. М., 1960; Карпенко А.С. Многозначные логики. Сер. «Логика и компьютер». Вып. 4. М, 1997; Кудрявцев В.Б. О функциональных системах. М., 1981; Яблонский СВ. Функциональные построения в k-значной логике // Т р у д ы математического института им. В. А. Стеклова. Т. 51.1958; Computer Science and Multiple-valued Logic: Theory and Applications. Amsterdam, 1977 (2nd revised ed. 1984); Gottwald S. A Treatise on Many-Valued Logics. Baldock, 2000; Malinowski G. Many-valued logics. Oxford, 1993; Rescher N. Many-valued logic. N. Y., 1969; Modern Uses of Multiple-valued Logic. Dordrecht, 1977; Urquhart A. Basic many-valued logic // Handbook of Philosophical Logic. 2nd ed. Vol. 2. Dordrecht, 2001.

Энциклопедия эпистемологии и философии науки. М.: «Канон+», РООИ «Реабилитация»

И.Т. Касавин

2009