Энциклопедия эпистемологии и философии науки - логика предикатов

Важнейшая особенность Л. п. состоит в том, что так называемые общие имена, знаки свойств и знаки отношений рассматриваются как принадлежащие одной категории — категории предикаторов. Они репрезентируют функции, аргументами которых являются объекты универсума рассмотрения, а значениями — истинностные оценки (в классической логике — это «истина» и «ложь»). Предикаторы различаются своей местностью в зависимости от числа аргументов у репрезентируемых ими функций. Др. отличительной чертой Л. п. является использование особого типа логических символов — кванторов— и связываемых ими (квантифицируемых) переменных для воспроизведения логических форм множественных высказываний. Квантифицируемые переменные «пробегают» по множеству объектов рассмотрения, а роль квантора состоит в указании на ту часть объектов, для которых справедливо содержащееся в высказывании утверждение. Язык логики предикатов содержит квантор общности V («всякий», «каждый», «любой») и квантор существования 3 («существует», «найдется», «некоторый»).

Л. п. включает в себя логические теории разных типов, отличающиеся как выразительными возможностями языков, в которых они формулируются, так и классами выделяемых в них логических законов.

В зависимости от типа сущностей, составляющих допустимые области пробега квантифицируемых переменных, различают логики предикатов первого порядка и высших порядков. В первопорядковой логике имеется лишь один тип квантифицируемых переменных — предметные (индивидные) переменные, возможными значениями которых являются индивиды (структура множественных высказываний воспроизводится здесь посредством формул вида: VaA — «Для всякого индивида a верно, что А»; ЭоА — «Существует индивид а, такой что А»). В Л. п. второго порядка дополнительно вводятся переменные, пробегающие по признакам индивидов (эти переменные тоже разрешается связывать кванторами, получая выражения типа V P A — «Для всякого свойства Р верно, что A», 3RA — «Существует отношение R, такое что А»); в Л. п. третьего порядка разрешается квантификация по признакам признаков индивидов и т.д.

Выделяют также односортные и многосортные системы Л. п.: в односортной логике все переменные, принадлежащие к одному и тому же типу, имеют одинаковую область пробега; в многосортной логике с каждой переменной связывается собственное множество ее возможных значений.

Л. п. включает как классические, так и неклассические логические теории. В основе классической Л. п. лежат общие для всех классических систем принципы — двузначности и экстенсиональности. Кроме того, в ней принимаются специфические именно для кванторной теории предпосылки экзистенциального характера — допущение о существовании объектов в предметной области и о существовании денотатов у единичных терминов. В неклассических логиках предикатов в той или иной форме происходит пересмотр указанных принципов. Напр., в свободной логике отказываются от обязательного существования индивидов в области интерпретации, а также допускают пустоту единичных терминов.

В язык классической Л. п. первого порядка в качестве логических символов вводят некоторую функционально полную систему пропозициональных связок (см. Логика высказываний) и кванторы. В алфавите содержится также бесконечный список предметных (индивидных) переменных. Среди нелогических символов обязательно наличие непустого множества предикаторных констант. Кроме этого в алфавит могут быть включены предметные и предметно-функциональные константы. Техническими символами алфавита являются левая и правая скобки и запятая. В Л. п. имеются два типа правильно построенных выражений — термы (аналоги имен) и формулы (аналоги предложений).

Семантическое построение классической Л. п. может осуществляться различными способами. Наиболее известны объектная и подстановочная семантики. Суть объектной семантики состоит в выборе некоторой непустой предметной области U (универсума рассмотрения) и интерпретирующей функции I, сопоставляющей нелогическим символам языка некие сущности (индивиды, предметно-истинностные и предметные функции), релятивизированные относительно U. Пару < Щ > называют моделью или возможной реализацией. Далее задаются правила приписывания значений термам и формулам в модели < U, I >. При этом формула V c c A истинна в том случае, когда А оказывается истинной, какой бы объект из U мы ни приписали в качестве значения переменной а (сохранив при этом значения остальных переменных), а ЭаА истинна, если в универсуме найдется такой объект, что при сопоставлении его в качестве значения переменной а формула А оказывается истинной. Законами Л. п. (общезначимыми формулами) объявляются формулы, истинные в каждой модели < UJ > при любых значениях переменных.

Смысл подстановочной семантики состоит в формулировке таких критериев истинности и ложности предложений языка, которые не предполагают соотнесения последних с внеязыковой действительностью, а опираются только на информацию о значениях элементарных формул. Здесь мы имеем дело не с обычной трактовкой истины как соответствия предложений действительности, а с тем, что иногда называют «истинностью в теории», где теория понимается как дедуктивно замкнутое множество предложений языка. Предложение вида V c t A (ЗаА) объявляется истинным в теории, если соответствующее бескванторное утверждение справедливо для любого (хотя бы для одного) единичного термина, принадлежащего словарю данной теории.

Класс общезначимых формул первопорядковой логики может быть формализован, т.е. существуют исчисления (синтаксически построенные логические системы), классы теорем которых совпадают с множеством законов семантически построенной Л. п. Данный факт был впервые установлен К. Геделем в 1930. Логики высших порядков являются принципиально неформализуемыми, т.е. нельзя построить адекватные им исчисления.

Среди др. метатеоретических свойств Л. п. следует отметить ее неразрешимость (отсутствие эффективной процедуры, позволяющей в конечное число шагов определять, является ли произвольная формула ее законом), установленную А. Чёрчем в 1936, и синтаксическую неполноту исчислений предикатов (возможность добавления в качестве новых аксиом некоторых недоказуемых формул без получения в системе противоречия). Последнее свойство имеет серьезное, в методологическом отношении, следствие: обеспечивается возможность построения на базе Л. п. нетривиальных прикладных теорий. Вместо абстрактных нелогических констант в алфавит вводятся конкретные термины словаря теории — имена объектов ее предметной области, знаки их свойств и отношений, знаки заданных на данной области предметных функций. Сами прикладные первопорядковые (элементарные) теории строятся обычно аксиоматически: к логической части (аксиомам и правилам вывода исчисления предикатов) добавляются постулаты, отражающие закономерности предметной области теории. Наиболее известной элементарной теорией является система формальной арифметики Пеано.

В.И. Маркин

Лит.: Гильберт Д., Аккерман В. Основы теоретической логики. М., 1947; Кпини С.К. Введение в метаматематику. М., 1957; Мендельсон Э. Введение в математическую логику. М., 1976; Новиков П.С. Элементы математической логики. М., 1973; Чёрч А. Введение в математическую логику. Т. I. M., I960; Hughe R.I. G. (ed.) A philosophical companion to first-order logic. Indianapolis, 1993; Smullyan R.M. First-order Logic. N. Y., 1 9 9 6; Whitehead A. N., Russel B. Principia Mathematica. Vols. I—III. Cambridge, 1910—1913.

Энциклопедия эпистемологии и философии науки. М.: «Канон+», РООИ «Реабилитация»

И.Т. Касавин

2009