Энциклопедия эпистемологии и философии науки - математизация науки

Ньютон в «Математических началах натуральной философии» говорил о «подчинении явлений законам математики», и хотя он использовал язык геометрии, для формулировки законов механики ему пришлось создать дифференциальное и интегральное исчисление. Впервые был осуществлен прорыв за пределы евклидовой геометрии как математической структуры физики: благодаря усилиям Ньютона, Лейбница, К. Маклорена, Л. Эйлера классическая механика предстала как теория обыкновенных дифференциальных уравнений 2-го порядка. При этом важнейшую стимулирующую роль в возникновении и развитии математического анализа и теории дифференциальных уравнений сыграли задачи классической механики.

В дальнейшем были выявлены и др. математические представления механики, положившие начало феномену аналитической механики (Ж.Л. Лагранж), нацеленному на изучение математических структур классической механики. Оказалось, что ее можно сформулировать как вариационное исчисление (Эйлер, Лагранж, У Р. Гамильтон, К.Г. Якоби, М.В. Остроградский), как теорию дифференциальных уравнений с частными производными 1-го порядка (Гамильтон, Якоби, С. Ли), как риманову геометрию (Якоби, Р. Липшиц, Г. Дарбу, Г. Герц), как симплектическую геометрию (Лагранж, Гамильтон, Остроградский, Ли). Эти отождествления оказали решающее воздействие на развитие математики в 19 в. и выявили структурно-математическую мощь классической механики (в соответствии с «математическим» критерием эффективности исследовательской программы И. Лакатоса, мощь программы определяется степенью ее влияния на развитие математики; этот критерий имеет родство с критерием «хорошей» теории Р. Фейнмана, согласно которому качество теории определяется возможностью ее представления на языке различных математических формализмов). Лагранжев, Гамильтонов и др. формализмы аналитической механики обнаружили удивительную живучесть, сыграв важную роль в создании квантовых и релятивистских теорий 20 в.

Классико-механическая программа (и соответствующая картина мира) открыла описанный выше способ математизации точного естествознания, который, несмотря на значительное количество приверженцев от П.С. Лапласа до Г. Гельмгольца и Дж. Максвелла, оказался весьма ограниченным. Физика (как наука о свете, теплоте, электричестве и магнетизме), которая, за небольшим исключением, до начала 19 в. не имела теоретического оформления, подобного классической механике, потребовала привлечения нового типа математизации. Решающим поворотом стало интенсивное использование математического анализа для представления элементарных феноменологических соотношений в теоретической форме, не сводящейся к классической механике. На этом пути в первой четверти 19 в. были созданы (в основном, усилиями франц. ученых С.Д. Пуассона, Ж.Б. Фурье, A.M. Ампера, О. Френеля, С. Карно и др.) математическая электростатика, теория теплопроводности, элементы термодинамики, электродинамика, волновая оптика.

В 1860—1870-е создание классической физики, сопряженное с ее математизацией, в основном, было завершено (теория электромагнитного поля Максвелла, термодинамика В. Томсона и Р. Клаузиуса, основы статистической механики Максвелла и Л. Больцмана). Математический анализ и, прежде всего, теория дифференциальных уравнений с частными производными 2-го порядка, оставались основной математической структурой классической физики. Но, вместе с тем, важными дополнительными инструментами ее математизации стали векторное исчисление и теория вероятностей. В кристаллографии получила применение теория групп. К концу 19 в. выявилась фундаментальная особенность основных дифференциальных уравнений классической физики — их вариационная структура, т.е. возможность их получения на основе вариационного исчисления (из вариационных принципов, прежде всего принципа Гамильтона).

Математизация др. естественных наук осуществлялась через посредство физики и классической механики (небесная механика, астрофизика, некоторые разделы химии и др.). А. Пуанкаре на рубеже 19 и 20 вв. связал математико-аналитическую (т.е. опирающуюся на математический анализ и дифференциальные уравнения) природу классической физики с ее локальностью и однородностью. В результате знание элементарного факта позволяло получить описание процесса посредством дифференциальных уравнений, интегрирование которых вело к описанию множества наблюдаемых явлений. Отсутствие в биологии характерных для физики локальности, однородности, простых элементарных соотношений препятствовало согласно Пуанкаре, математизации би препятствоологических наук.

Научная революция, произошедшая в физике в первой трети 20 в., существенно изменила взаимоотношения физики и математики. Кроме того, математика сыграла существенную роль в самой этой революции. Прежде всего, при построении теории относительности, особенно общей, и квантовой механики в полной мере проявилась опережающая роль математики. В отличие от классики, в которой математике (дифференциальным уравнениям) предшествовало установление связи физических понятий с математическими величинами, при разработке релятивистских и квантовых теорий отыскание адекватной математической структуры опережало ее физическое осмысление. Так, при создании общей теории относительности сначала была найдена риманова структура пространства—времени и тензорно-геометрическая концепция гравитации и только после этого была прояснена собственно физическая сторона дела. При создании квантовой механики также сначала были установлены математические основы теории (напр., уравнение Шредингера для волновой функции, физический смысл которой оставался неясным), и только после этого была развита физическая интерпретация теории (вероятностная трактовка волновой функции, принципы неопределенности и дополнительности). Именно эти достижения теоретической физики позволили говорить о «предустановленной гармонии» между математикой и физикой ( Г. Минковский, Ф. Клейн, Д. Гильберт, А. Эйнштейн и др.), или о «непостижимой эффективности математики в естественных науках» (Е. Вигнер). В какой-то степени это выглядело как возрождение пифагорейско-платоновской концепции математизации научного знания или его более современного варианта в духе Кеплера, Ньютона и Лейбница.

Если классическая физика выглядела, с математической точки зрения, прежде всего, как теория дифференциальных уравнений с частными производными 2-го порядка и, соответственно, математико-аналитическая структура была определяющей, то в неклассической науке на передний план выдвинулись теория групп преобразований и их инвариантов, дифференциально-геометрические структуры и функциональный анализ. Большое значение сохраняли также теория дифференциальных уравнений и вариационное исчисление, с помощью которых формулировались законы движения, а также теория вероятностей, позволяющая корректно сформулировать понятие состояния в статистической и квантовой механике. Теоретико-инвариантный подход, ставший после создания специальной теории относительности мощным и универсальным средством построения теории, означал распространение «Эрлангенской программы» Ф. Клейна на физику; иначе говоря, вел к пониманию научных теорий, прежде всего, как теорий инвариантов некоторых лежащих в их основе фундаментальных групп симметрии. Общая теория относительности привела впервые к геометризации физического взаимодействия (а именно — гравитации) на языке теории римановых искривленных пространств. Переход от классики к квантам соответствовал переходу к бесконечномерному гильбертову пространству состояний и самосопряженным операторам, т.е. переходу от обычного анализа к функциональному. Дальнейшее развитие во второй половине 20 в. вводило в оборот такие разделы, как геометрию расслоенных пространств, топологию, бесконечномерные алгебры Ли и т.д.

Триумфы интенсивной математизации в создании неклассической физики привели к такому пониманию роли математики, когда она рассматривается не только как средство количественного описания явлений, но и как «главный источник представлений и принципов, на основе которых зарождаются новые теории» (Ф. Дайсон). Вплоть до настоящего времени надежды на прорыв в фундаментальной физике теоретики связывают с поиском математических структур, математических образов, ранее не связывавшихся с реальностью (Ю.И. Мании). По существу, это близко к методу математической гипотезы, важность которого в неклассической физике подчеркивал еще СИ. Вавилов.

Несмотря на устойчивую традицию считать упомянутую выше «предустановленную гармонию» символом веры теоретиков, либо ключевым «эмпирическим законом эпистемологии», и поэтому избегать поиска оснований этой гармонии, есть несколько перспективных подходов к ее объяснению (истолкованию).

Первый — историко-научный — опирается на эстафетную модель развития физики (естествознания) и математики Д. Гильберта. Согласно этой модели, эффективность математики в отношении физики основана «на... повторяющейся и сменяющейся игре между мышлением и опытом»; на том, что математические концепции в своих истоках восходят к внешнему миру, к физической реальности, развиваясь затем относительно автономно до мощных абстрактных теорий, которые, в свою очередь, оказываются удивительно подходящими для описания новых пластов естествознания, как бы возвращая ему долг. Существует подход, основанный на резонном замечании об определенном родстве (или даже совпадении) некоторых основных методологических принципов физики и математики (Н.Ф. Овчинников и др.). Таковыми, напр., являются принципы симметрии (инвариантности), сохранения, соответствия и др. В «предустановленной гармонии» между физикой и математикой, конечно, присутствует эстетический момент. Иногда даже полагают, что целесообразно ввести понятие «математической красоты» физических теорий и что именно с ним связана эта гармония (П. Дирак, С. Вайнберг). В процессе математизации происходит, своего рода, «естественный отбор» эффективных структур, и именно с ними ассоциируется понятие математической красоты. С этим отбором может быть связано стремление теоретиков отдавать предпочтение задачам, имеющим «красивые решения». Само понятие, или чувство, «математической красоты» эволюционировало от закономерностей целых чисел и правильных многогранников к евклидовой геометрии и от нее — к математическому анализу и к дифференциальным уравнениям, а затем от них — к теории групп, дифференциально-геометрическим структурам и к функциональному анализу. Известны также попытки связать «предустановленную гармонию» между физикой и математикой с устройством нашего мозга, с физико-математической природой нашего мышления (сознания) (Р. Пенроуз, Ж.П. Шанже).

Конечно, возможна переоценка математического начала при разработке научных теорий, когда надежды на «математическое решение» научных проблем не оправдываются. Так произошло, напр., при попытках построения единой теории поля, основанных на использовании более общих геометрий, чем риманова. Несмотря на элегантные и мощные геометрические методы, из-за отсутствия физических оснований для геометризации электромагнитного поля эти попытки оказались безуспешными.

При этом едва ли следует опасаться так называемого «пифагорейского синдрома» (выражение Р. А. Аронова), истолковываемого как неоправданное отождествление математических форм и теоретических структур с формами и структурами объективного мира. Оправданием такого отождествления является успех теории (так было при создании общей теории относительности и квантовой механики). Если отождествление не ведет к успеху, соответствующая математическая гипотеза отбрасывается. Однако не оправдавшиеся на данном этапе математические структуры могут быть не только ценными для математики, но и оказаться полезными при последующем развитии физической теории. Таковыми, напр., оказались геометрия Вейля и пятимерное обобщение римановой геометрии, не приведшие к успешному решению проблемы единой теории поля, но ставшие источниками таких важных физических концепций, как калибровочная трактовка поля и идея многомерного пространства.

Научно-техническая революция 1940—1960-х, связанная с освоением ядерной энергии и космического пространства, с созданием компьютеров, лазеров и т.п., привела к новой волне математизации естественных и технических наук, внесшей, в свою очередь, значительный вклад в эту революцию. Ключевым достижением здесь было создание электронных цифровых машин и концепции вычислительного эксперимента, радикально расширивших масштабы математизации, включив в ее сферу не только задачи управления и экономики, но отчасти и гуманитарные науки.

На стыке различных наук во второй половине 20 в. сформировалось новое синтетическое направление математизации науки, получившее название синергетики, или нелинейной динамики, в котором центральное место заняли нелинейные задачи, процессы самоорганизации и стохастизации динамики. С одной стороны, в рамках этого направления удалось решить ряд важных задач физики и техники, а также математизировать важные разделы химии, биологии и социальных наук. А с другой—привело к новым импульсам для развития математики (нелинейные дифференциальные уравнения, фрактальная геометрия, теория особенностей дифференцируемых отображений и т.д.).

Математизации физики сопутствует нередко обратный процесс — физикализация математики. Это выражается, с одной стороны, в содержательности и плодотворности математических концепций, порожденных физикой (В.И. Арнольд). С др. стороны, теоретическая физика иногда побуждает математиков к преобразованию даже оснований математики (Дж. Неструев, A.M. Виноградов).

Спорным является вопрос о том, считать ли математизацию одним из методологических принципов физики (Н.Ф. Овчинников, И.А. Акчурин) наряду с принципами симметрии, соответствия и др., или рассматривать ее как отдельную общую черту теоретизации научного знания. Независимо от ответа на этот вопрос, следует признать, что математизация всегда была, и продолжает оставаться, главным и эффективнейшим средством теоретизации научного знания, развитие которого оказывает мощное воздействие на саму математику. При этом приходится констатировать, что проблема математизации науки относится к числу важнейших проблем методологии науки, требующих дальнейшего исследования.

В.П. Визгин

Лит.: Вигнер Е. Этюды о симметрии. М., 1971; Методологические принципы физики. История и современность. / Отв. ред. Б.М. Кедров и Н.Ф Овчинников. М., 1975; Манин Ю.И. Математика и физика. М., 1979; Клайн М. Математика. Утрата определенности. М., 1984; Клайн М. Математика. Поиск истины. М., 1988; Вейль Г. Математическое мышление. М., 1989; Визгин В.П. Математика в классической физике // Физика XIX—XX вв. в общенаучном и социокультурном контекстах: физика XIX в. М., 1995; Овчинников Н.Ф. Принципы теоретизации знания. М., 1996; Кобзарев И.Ю., Манин Ю.И. Элементарные частицы: Диалоги физика и математика. М., 1997; Визгин В.П. Математика в квантово-релятивистской революции // Физика 19—20 вв. в общенаучном и социокультурном контекстах. Физика XX в. М., 1997; Шанже Ж.-П., Конн А. Материя и мышление. М.—Ижевск, 2004; Трубецков Д.И. Введение в синергетику. Хаос и структуры. М., 2004; Вайнберг С. Мечты об окончательной теории: физика в поисках самых фундаментальных законов природы. М., 2004.

М. Н. — процесс внедрения средств математики в исследовательскую практику различных областей познания. С самых первых шагов становления науки язык математики рассматривался многими естествоиспытателями в качестве варианта общенаучного языка профессионального сообщества. Напр., Галилей, используя образ Природы как книги, считал, что эта книга написана языком математики. Позднее даже появилась идея о том, что зрелость той или иной дисциплины определяется по степени использования в ней математических средств и методов. Подобное отношение во многом обусловлено четкостью структурной организованности и максимальной абстрактностью математического языка. Данная его особенность позволяет для выражения содержания весьма удаленных друг от друга областей знания использовать одну и ту же математическую форму. Напр., одна и та же система дифференциальных уравнений может описывать такие различные по своей природе процессы, как перемещение электронов в проводнике, движение потока жидкости или динамику кадровых перемен в какой-либо фирме. В силу того, что математика оперирует абстрактными (идеальными) объектами, созданными средствами формального языка, ее использование в различных научных дисциплинах обеспечивает возможность достаточно компактным образом представить большой объем данных, которые в обобщенной форме отображают наиболее универсальные типы связей и отношений, фиксируемые специалистами в объективной реальности. Модели действительности, конструируемые с помощью математических средств, в первую очередь, выражают количественные соотношения между элементами описываемых структур, а также дают возможность достаточно наглядно представить порядок их организации. Поскольку подобные модели чаще всего замещают в познавательных актах весьма обширные классы подобного рода характеристик, постольку использование математического языка часто способствует получению информации о таких объектах, с которыми исследователь не вступает в непосредственный эмпирический контакт. Более того, с помощью математики можно описывать такие объекты, реальность существования которых представляется в некоторый данный момент чисто гипотетически. Данным обстоятельством, в частности, обусловлено и то, что в практике современного научного познания все шире применяется такой вид экспериментального исследования, как математический эксперимент. В процессе представления того или иного объекта посредством определенной системы математических выражений, ученый может менять соответствующие элементы таких выражений, что интерпретируется в качестве изменения условий функционирования самого объекта. В результате возникают новые знаковые конструкции. Придавая им определенный содержательный смысл, ученый может получить новые сведения о свойствах окружающей реальности, не вступая в непосредственное практическое взаимодействие с какими-то ее фрагментами.

Этим во многом объясняется стремление представителей самого различного рода наук как можно шире применять в своих исследованиях всевозможные формальные средства и методы. Однако практика реального научного познания обнаруживает множество трудностей, связанных с попытками математического оформления результатов, получаемых представителями экспериментального естествознания. Еще в большей степени это относится к области социального и гуманитарного познания. Языковые системы, используемые в таких дисциплинах, не всегда успешно соотносятся с формальными структурами, с помощью которых строится математика. Многие физики или биологи отмечают, что при попытках применить в своей области язык математики, они вынуждены опускать важные, с точки зрения их подхода, характеристики изучаемых объектов в силу отсутствия соответствующих формальных аналогов. В то же время менее значимые особенности этих объектов, достаточно просто переводимые на математический язык, становятся конструктивными элементами формальных моделей, создаваемых в рамках данных дисциплин. Тем самым, использование языка математики в какой-то степени заставляет исследователей «подгонять» эмпирический материал под образцы описания и объяснения, существующие в этом языке.

Данное обстоятельство стимулирует поиск новых способов перевода качественных характеристик объектов познания, выявляемых представителями «содержательных» наук, на язык количественно-структурных соотношений. Таким образом, эмпирическое познание оказывает обратное воздействие на развитие самой математики, играя роль своеобразного стимула, способствующего расширению набора формальных средств, с помощью которых строится математика.. Эффективность математического моделирования довольно часто приводит, однако, к неявному отождествлению идеализированных абстрактных объектов, существующих исключительно в соответствующих формализованных конструкциях, с теми реальными процессами и явлениями, для отображения которых подобные конструкции создаются. Это обусловлено тем, что далеко не всегда в достаточной степени учитывается существенная зависимость характера формальной модели от типа языка, используемого для ее построения. Ведь один и тот же комплекс эмпирических данных может быть представлен множеством разнообразных математических моделей, и потому самая сложная теоретическая система всегда оказывается определенным упрощением и схематизацией соответствующей предметной области. Математизация языка науки свидетельствует о растущей теоретизации познания в целом. Действительно, современная наука все в большей степени ориентирована не на особенности непосредственно воспринимаемых объектов и явлений окружающего мира, а на выявление закономерных связей между ними. А так как сами эти связи прямо не воспринимаются исследователями, то для их представления в системах производимого учеными знания приходится использовать чисто формальные средства, замещающие предшествующие наглядные описания изучаемых объектов предметного мира. Чем более фундаментальные и универсальные характеристики действительности удается выявить представителям той или иной области знаний, тем эффективнее становится использование средств математического языка для выражения производимых знаний. На математизацию языка науки существенно влияет и растущая техническая оснащенность научного познания. Применение в исследовательской практике всевозможных приборов и различных технических устройств, использование компьютерных систем для осуществления не только вычислительных операций, но и для проведения математических экспериментов, — все это создает объективные условия для быстро прогрессирующей формализации познавательной деятельности.

С.С. Гусев

Энциклопедия эпистемологии и философии науки. М.: «Канон+», РООИ «Реабилитация»

И.Т. Касавин

2009