Энциклопедия эпистемологии и философии науки - семантика возможных миров

Наибольшее развитие и применение С. в. м. получила в логике, точнее — в неклассической логике (прежде всего, в модальной логике), как одном из разделов математической логики. Здесь фундаментальным понятием является шкала (модельная структура, фрейм) С. Крипке, представляющая собой непустое множество, элементы которого называют мирами (возможными мирами, точками, точками соотнесения, моментами (времени), состояниями, вынуждающими условиями и т.п. в зависимости от содержательной интерпретации или зафиксированной терминологии), с бинарным отношением на нем (отношением достижимости, альтернативности, информативности и т.п.). Моделью Крипке называется шкала с определенной на ней оценкой, сопоставляющей в каждом мире каждому элементарному высказыванию (пропозициональной переменной) истинностное значение. Модальная формула считается истинной в модели, если она истинна во всяком мире этой модели; формула истинна в шкале, если она истинна во всякой модели, определенной на этой шкале. Оценка распространяется на все высказывания (модальные формулы) в соответствии с обычными таблицами истинности и условием, что высказывание ПА (т.е. «необходимо, что А») истинно в мире w, если А истинно во всяком мире v, достижимом из w. В случае конкретной содержательной интерпретации рассматриваемого неклассического оператора на отношение достижимости накладываются определенные условия. Напр., если нас интересует временная модальность «всегда будет» (или «когда-нибудь будет»), то разумно потребовать, чтобы отношение достижимости «момент времени w раньше момента времени v» было транзитивным. Это требование соответствует истинности формулы V x V y V z ( x R y & yRz => yRz) в шкале как модели для формул первого порядка, в то же время класс транзитивных шкал задается и как класс шкал, в которых истинна модальная формула G A —» П П А (коротко говоря, формулы V x V y V z ( x R y & y R z => yRz) и ПА —> ППА эквивалентны на шкалах Крипке). Стандартное понимание логической необходимости требует принятия принципа, выражаемого формулой ПА —» А («необходимо истинное справедливо»), а эта формула истинна в точности в таких шкалах, в которых отношение достижимости рефлексивно, т.е. в этих шкалах выполняется условие Vx xRx. При этом существуют формулы первого порядка (напр., Vx3y yRx), которые не имеют модального эквивалента, и существуют модальные формулы (простейшими примерами являются П О А — > О С А и формула Лёба П([]А — > А ) —» П А, играющая основополагающую роль в модальной логике доказуемости). Такого рода наблюдения, связывающие два понимания истинности в шкалах Крипке — модальное пропозициональное и классическое первопорядковое, послужили началом теории соответствия (correspondence theory), которая является одной из частей современной модальной логики.

Другая часть современной модальной логики — теория полноты. Аксиоматическая система модальной L называется полной относительно класса шкал С, если всякая формула выводима в L тогда и только тогда, когда она истинна во всех шкалах класса С (др. словами, С является адекватной семантикой Крипке для L). Так, напр., S4 полна относительно класса транзитивно-рефлексивных шкал (относительно класса конечных транзитивно-рефлексивных шкал, относительно частично упорядоченных, т.е. транзитивных, рефлексивных, антисимметричных (с условием VxVy(xRy & yRx => x = у)) шкал). Для большей части модальных логик найдены классы шкал, относительно которых они полны, однако есть логики без адекватной шкалы Крипке.

Имеются обобщения семантики шкал Крипке, позволяющие гарантировать полноту всех модальных логик. Главная идея обобщений в этом направлении — ограничение оценок на оценки из некоторой заранее заданной совокупности со специальными свойствами. Еще одно «обобщение» получается, если выделять в шкале множество так называемых действительных миров и считать формулу истинной в шкале (модели), если она истинна именно в действительных мирах. (По сути, это не обобщение, поскольку изначально семантика шкал Крипке содержала понятие действительного мира, но надобность в нем отпала для всех систем с правилом Г е д е л я А/ПА.)

Некоторые др. обобщения связаны с тем, что описанная семантика шкал Крипке вынуждает нас принять постулаты, не всегда приемлемые с точки зрения подразумеваемой интерпретации. Так, имеется обширная дискуссия, связанная с так называемым парадоксом логического всеведения — «если я знаю некоторые утверждения, то знаю и все логические следствия этих утверждений», что, в частности, может быть выражено постулатом (формулой) L(A — > В ) — > (ПА — > I. В). В о избежание безусловного принятия этого постулата или ему подобных используется окрестностная семантика: каждому миру в ней сопоставляется семейство множеств миров, т.е. семейство окрестностей, и высказывание А считается истинным в мире w, если А истинно во всех мирах некоторой окрестности w. Имеются и др. варианты С. в. м.

На уровне логики первого порядка С. в. м. доопределяется так, что каждый мир по сути является моделью классической логики первого порядка, причем если из мира w достижим мир v, то предметная область мира w включается в предметную область v, а в случае принятия постулата 03хА(х) —> ЗхОА(х) или ему эквивалентного VxljA(x) —» [JVXA(X) (ЭТИ постулаты называют формулами Баркан) предметные области w и v должны совпадать. Теория полноты модальных логик первого порядка много проблематичнее ее пропозиционального аналога.

С. в. м. используется не только как семантический аппарат модальной логики. Напр., варианты этой семантики применяются для интерпретации интуиционистской логики, релевантной логики. В последнем случае вместо бинарного отношения достижимости пришлось взять тернарное: релевантная импликация А —> В считается истинной в мире w, если для любой пары миров v и и, достижимой из w А истинно в мире v, то В истинно в и.

A3. Чагров

Лит.: Семантика модальных и интенсиональных логик. М., 1981; Хинтикка Я. Логико-эпистимологические исследования. М., 1980; Фейс Р. Модальная логика. М., 1974; Van Benthem J. Modal Logic and Classical Logic. Bibliopolis, 1983; Chagrov A., Zakharyaschev M. Modal Logic. Oxford, 1997; Handbook of Philosophical Logic. 2^nd edition. V. 3. Kluwer Academic Publishers, 2001.

Энциклопедия эпистемологии и философии науки. М.: «Канон+», РООИ «Реабилитация»

И.Т. Касавин

2009