Философская энциклопедия - изоморфизм и гомоморфизм

ИЗОМОРФИЗМ И ГОМОМОРФИЗМ

логико-математич. понятия, выражающие одинаковость (изоморфизм; от греч. — одинаковый и — форма) либо уподобление (гомоморфизм; от греч. — один и тот же, равный) строения (структуры) систем (множеств, процессов, конструкций). Системы А и А1 наз. изоморфными (или находящимися в отношении изоморфизма), если между их элементами, а также функциями (операциями), свойствами и отношениями, осмысленными для этих систем, существует или может быть установлено взаимнооднозначное соответствие. В этом случае каждая из систем А и А1 наз. изоморфным образом другой.

Для изоморфных систем выполняются след. условия. 1) Каждому элементу а, принадлежащему одной из них, напр. системе А (что записывается как а А), соответствует единств. элемент ?1 А1 (образ элемента а в системе А1) и наоборот. 2) Каждой функции ?, определённой на элементах системы А и принимающей значение в А, для образов этих элементов в системе А1 соответствует единств. функция ?1, и, наоборот, функции ?1 в А1 соответствует единств. функция ? в А (для соответств. элементов). 3) Для каждого свойства Р, которым обладают к.-л. элементы из А, и каждого отношения R, в котором находятся наборы к.-л. элементов из А , для образов этих элементов в А1 существуют взаимнооднозначно соответствующие им свойства Р1 и R1. Замена условия (1) более слабым требованием однозначного соответствия элементов только в одну сторону, напр. от А к А1 (так что каждому ? А соответствует единств. элемент а1 А1, но не наоборот: элементу а1 в А 1 может соответствовать много разных элементов в А), приводит к более общему (и более слабому) отношению гомоморфизма. В этом случае А наз. гомоморфным прообразом для A1, a А1 — гомоморфным образом системы А. Гомоморфный образ упрощает структуру прообраза, т. к.

допускает множество «склеенных» элементов, соответствующих некоторому элементу а1 А1. Аналогично ослабление условий (2) и (3), связанных между собой, ведёт к понятиям, выражающим дальнейшее упрощение уподобления системы А1 системе А.

При использовании надлежащих абстракций и идеализации под понятия И. и г. могут быть подведены широкие классы отношений, существующие между системами различной природы (напр., отношения между фотографией и оригиналом, переводом языкового текста на некоторый язык и подлинником, географич. картой и соответств. местностью, чертежом машины и самой машиной, разговорной речью и магнитной лентой, на которой она записана, движениями небесных тел и описывающей их системой дифференциальных уравнений и т. п.). Вполне точно понятия И. и г. реализуются в математике и логике.

Изоморфизм представляет собой отношение типа равенства. Отсюда проистекает его методологич. значение как средства обоснования правомерности переноса знаний, полученных при изучении одной изоморфной системы, на другую. В отличие от изоморфизма, гомоморфизм, не будучи симметричным отношением, обосновывает перенос знаний лишь с гомоморфного образа на прообраз, но не наоборот (любые знапия, извлекаемые, напр., из верной географич. карты, переносимы на соответств. местность, но не всё, что имеется на местности, отображается на карте). Понятия И. и г. (всякий изоморфизм есть гомоморфизм, но не наоборот) используются для характеристики понятия модели и метода моделирования, а также гносеологич. категории образа (если он фиксирован средствамик.-л. знаковых систем).

Э ш б и У. Р., Введение в кибернетику, пер. с англ., М., 1959; Бирюков Б. В., Кибернетика и методология науки, М., 1974; Ван-дер-Варден Б. Л., Алгебра, пер. с нем., М., 19792.

Философский энциклопедический словарь. — М.: Советская энциклопедия. Гл. редакция: Л. Ф. Ильичёв, П. Н. Федосеев, С. М. Ковалёв, В. Г. Панов. 1983.