Философская энциклопедия - категоричность системы аксиом

КАТЕГОРИЧНОСТЬ СИСТЕ́МЫ АКСИО́М

свойство, выражающее содержат. полноту системы аксиом. Система аксиом наз. категоричной, если она однозначно определяет только одну систему предметов с точностью до изоморфизма, т.е. если все интерпретации, или модели, этой системы изоморфны друг другу. Поскольку понятие изоморфизма интерпретаций допускает разные, не эквивалентные друг другу определения, постольку возможны и разные виды категоричности. В случае существования неизоморфных интерпретаций система аксиом наз. некатегоричной, или содержательно неполной.

Понятие категоричности – одно из основных понятий метода аксиоматического. Оно имеет исключительно семантич. смысл, т.к. характеризует интерпретации (модели) той или иной аксиоматич. системы. Первоначально возникло в геометрии при решении задач ее обоснования. Фундаментальным здесь явился результат Дж. Гильберта, впервые сформулировавшего содержательно полную аксиоматику евклидовой геометрии. В содержательно строящейся (неформальной) математике известен ряд категоричных систем аксиом, определяющих с точностью до нек-рого изоморфизма системы: натуральных чисел (аксиоматика Дедекинда – Пеано), действит. чисел, (напр., гильбертова аксиоматика числа) и др.

В определении категоричности слово "все" относится к произвольным моделям данной системы аксиом. Поскольку, однако, в большинстве случаев нельзя обозреть "все" произвольные модели, определение категоричности оказывается неконструктивным. При рассмотрении формальных систем аксиом возникают трудности, связанные с определением понятия К. с. а. Из теоремы Гёделя о неполноте вытекает, что обычная ф о р м а л ь н а я арифметика является неполной, т.е. допускает т. н. нестандартные модели, содержащие, помимо обычных натуральных чисел, еще какие-то дополнит. объекты. Естественно возникает вопрос о том, нельзя ли так уточнить понятие К. с. а., чтобы нестандартные модели были исключены. Одно из таких уточнений принадлежит англ. логику Крейселу, к-рый ввел понятие "рекурсивной модели" и показал, что примитивно-рекурсивная арифметика категорична относительно рекурсивных моделей, т. е., что не существует рекурсивных нестандартных моделей. Другое уточнение понятия категоричности принадлежит польскому логику Лосю, к-рый ввел понятие категоричности в данной мощности.

Лит.: Гильберт Д., Основания геометрии, пер. с нем., М.–Л., 1948; Клини С. К., Введение в метаматематику, пер. с англ., М., 1957; Ladrière J., Les limitations internes des formalismes, Louvain – P., 1957; Kreisel G., Mathematical significance of consistency proofs, "J. Symbolic logic", 1958, v. 23, No 2; Loś J., On the categoricity in power of elementary deductive systems and some related problems, "Colloquium math.", 1954, v. 3, fasc. 1 (реферат этой статьи см. вреферативном ж. "Математика", 1955, No 4, [реф. ] 1607).

А. Субботин. Москва.

Философская Энциклопедия. В 5-х т. — М.: Советская энциклопедия. Под редакцией Ф. В. Константинова. 1960—1970.