Философская энциклопедия - равенство ( и )

РА́ВЕНСТВО (в логике и математике)

отношение между выражениями языка логики и математики, верное тогда (и только тогда), когда оба выражения обозначают один и тот же предмет, т.е., когда все, что можно сказать на языке данной теории про объект, обозначаемый одним из них, верно и для объекта, обозначаемого другим. (При этом решение вопроса о том, имеем ли мы дело с "одним и тем же" объектом, зависит от того, как применяется абстракция отождествления. О диалектике, связанной с этой абстракцией, см. А= А.) Поскольку обозначение предмета бывает связано со способом его построения (напр., предмет, обозначаемый через "(5+7)·2", получается сложением чисел 5 и 7 и умножением полученного результата на 2), отношение Р. позволяет заменить один способ построения объекта др. способом его построения.

К числу свойств Р., позволяющих производить эквивалентные преобразования содержащих это отношение выражений, относится прежде всего вытекающее из его определения правило замены равного равным; из этого же определения следуют [1] рефлексивность (а = а), [2] симметричность (если а = b, то b = а) и [3] транзитивность (если а = b и b = с, то а = с) отношения Р. (С др. стороны, можно, следуя П. Лоренцену, показать, что для одинаковых конструктивных объектов, порождаемых различными рекурсивными определениями, все свойства Р., в т.ч. [1]-[3], доказуемы.)

Строя теорию отношения Р. аксиоматически (см. Метод аксиоматический) либо следуя Б. Расселу, непосредственно формализуют приведенное выше лейбницевское понимание Р. на языке расширенного исчисления предикатов (см. Предикатов исчисление, Типов теория) в виде аксиомы (или определения) а = b ≡ ∀ F (F(a)⊃ F(b)) (т.е. положив, что запись "а = b" по определению означает, что всякий предикат F, верный для а, верен и для b), либо же, желая избежать трудностей, связанных с употреблением кванторов по предикатам (см. Парадокс), присоединяют к постулатам исчисления предикатов первой ступени аксиому: а = а [1] и схему аксиом: a = b ⊃ (F (a) ⊃ F (b)), где F -произвольный предикат. С помощью этих аксиом легко доказываются соотношения [1] и [2] для охарактеризованного ими отношения "=". В т.н. прикладных исчислениях предикатов, содержащих к.-л. спец. (постоянные, индивидуальные) предикатные и(ли) функциональные символы, Р. удается ввести с помощью конечного числа аксиом: для каждого из входящих в такое исчисление n-местного индивид. предиката Р. вводятся n аксиом вида а = b ⊃ (Р (а1, ..., aι-1, a, aι+1,, ..., an) ⊃ Р (а1, ..., аι-1, b, aι+1, ..., аn)) (ι = 1, ..., n); аналогично, для каждого n-местного функционального символа f постулируется n равенств вида а = b ⊃ f (a1, ..., aι-1,, a, aι+1, ..., аn) = f (a1, ..., аι-1, b, aι+1, ..., аn) (ι = 1, ..., n).

Записи содержащих предикат Р. формул (также обычно называемые просто равенствами) могут содержать нек-рые переменные, быть может фиксированные в пределах к.-л. контекста (в этом случае их наз. п а р а м е т р а м и данного Р.); если такая формула выражает предложение, истинное при всех значениях входящих в нее переменных (параметров), то ее принято наз. т о ж д е с т в о м, а если лишь при нек-рых – то у р а в н е н и е м. (Следуя терминологии Канта, употреблявшейся Э. Шрёдером, первые часто называли аналитическими равенствами, а вторые – синтетическими; см. Логическая истинность.) В различных (не только дедуктивных) науках большую роль играют отношения "типа Р.", обладающие свойствами [1], [2] и [3] и разбивающие предметную область на попарно не пересекающиеся "классы эквивалентности" (отождествив элементы каждого из к-рых, т.е. игнорируя любые определенные для них "различающие" предикаты, кроме индуцировавшего данное разбиение двуместного предиката "типа Р.", мы определяем для них уже отношение Р. в определенном выше смысле), для к-рых принято также наименование эквивалентность. Примерами могут служить эквиполлентность (равносильность) логич. формул (предложений), эквивалентность (равномощность, равночисленность) множеств, параллельность, конгруэнтность и подобие в геометрии, сравнимость по модулю (равенство остатков при делении на к.-л. число) целых чисел, изоморфизм и вообще любое отношение, характеризующее в к.-л. смысле "одинаковость" (подобие или даже тождественность) рассматриваемых предметов, причем термин "Р." (или к.-л. из его аналогов) часто бывает естественнее относить не к именам отождествляемых предметов, а к ним самим. Это различие становится несущественным для т.н. графического Р. "слов" в к.-л. "алфавитах", играющего большую роль в разл. приложениях теории алгоритмов. (Напр., в обозначениях А. Маркова, запись "U 5+7" означает, что U есть сокращенное (условное) обозначение не числа 12, а "слова", состоящего из трех "букв" 5, + и 7, к-рое, естественно, совпадает – в самом буквальном смысле – со своей записью.)

Знак Р. (или логич. эквивалентности) часто употребляют и при определении вновь вводимых понятий, но во избежание недоразумений обычно либо снабжают его индексом Df (=Df, ≡ Df РА́ВЕНСТВО (в логике и математике) Df), либо пользуются специальным лоренценовским символом . Хотя сам по себе любой из этих символов и не обозначает отношения Р., но порождает таковое – в том смысле, что связанные им выражения можно затем уже (после определения) отождествить и связать обычным знаком =; с др. стороны, знаки "Р. по определению" и вводимые с их помощью новые символы при соответствующих условиях могут быть "устранены" из рассмотрения (по спец. правилам).

Понятие Р., усиленно изучавшееся еще авторами первых работ по алгебре логики (Дж. Буль, Э. Шрёдер, П. С. Порецкий) и лежавшее в основе употреблявшегося ими логико-математич. аппарата, является (наряду с противоположным ему отношением различия, к-рое, впрочем, можно аксиоматически охарактеризовать и чисто "положительным" образом) одним из основных логич. отношений, что и предопределяет его фундаментальную роль как в самых различных приложениях математики и логики, так и в их философском осмыслении.

С. Яновская. Москва.

Философская Энциклопедия. В 5-х т. — М.: Советская энциклопедия. Под редакцией Ф. В. Константинова. 1960—1970.