Философская энциклопедия - теория графов

ТЕО́РИЯ ГРА́ФОВ

одна из ветвей топологии. Графом называют геометрич. схему, представляющую собой систему линий, связывающих какие-то заданные точки. Точки наз. вершинами, а связывающие их линии – ребрами (или дугами). Все задачи Т. г. могут решаться как в графической, так и в матричной форме. В случае записи в матричной форме возможность передачи сообщения из данной вершины в другую обозначается единицей, а ее отсутствие – нулем.

Зарождение Т. г. в 18 в. связано с математич. головоломками, но особенно сильный толчок ее развитию был дан в 19 в. и гл. обр. в 20 в., когда обнаружились возможности ее практич приложений: для расчета радиоэлектронных схем, решения т.н. транспортных задач и др. С 50-х гг. Т. г. все шире используется в социальной психологии и социологии.

В области Т. г. следует назвать работы Ф. Харари, Дж. Кемени, К. Фламента, Дж. Снелла, Дж. Френча, Р. Нормана, О. Оэзера, А. Бейвеласа, Р. Вейса и др. В СССР по Т. г. работают Φ. Μ. Бородкин и др.

Язык Т. г. хорошо приспособлен для анализа разного рода структур и передачи состояний. В соответствии с этим можно выделить след. типы социологич. и социально-психологич. задач, решаемых с помощью Т. г.

1) Формализация и построение общей структурной модели социального объекта на разных уровнях его сложности. Напр., структурная схема организации, социограммы, сравнение систем родства в разных обществах, анализ ролевой структуры групп и т.д. Можно считать, что ролевая структура включает три компонента: лица, позиции (в упрощенном варианте должности) и задачи, выполняемые в данной позиции. Каждая компонента может быть представлена в виде графа:

Можно совместить все три графа для всех позиций либо только для одной, и в результате мы получаем ясное представление о конкретной структуре к.-л. данной роли. Так, для роли позиции P5 имеем граф (рис.). Вплетение неформальных отношений в указанную формальную структуру значительно усложнит граф, но зато он будет более точной копией действительности.

2) Анализ полученной модели, выделение в ней структурных единиц (подсистем) и изучение их связей. Таким способом могут быть выделены, напр., подсистемы в крупных орг-циях.

3) Изучение уровней структуры иерархич. орг-ций: количество уровней, количество связей, идущих из одного уровня в другой и от одного лица к другому. На основании этого решаются задачи:

а) количеств. оценки веса (статуса) индивида в иерархич. орг-ции. Одним из возможных вариантов определения статуса является формула:

где r (р) статус нек-рого лица р, k величина уровня субординации, определяемая как наименьшее количество шагов от данного лица к своему подчиненному, nk количество лиц на данном уровне k. Напр., в орг-ции, представленной след. графом:

вес а=1·2+2·7+3·4=28; 6=1·3+2·3=9 и т.д. См. формулу(1)

б) определение лидера группы. Лидер характеризуется обычно большей по сравнению с другими связанностью с остальными членами группы. Как и в предыдущей задаче, здесь также могут быть использованы различные способы для выделения лидера.

Наиболее простой способ дается формулой: r=Σdxy/Σdqx, т.е. частное от деления суммы всех дистанций каждого до всех других на сумму дистанций данного индивида до всех других.

4) Анализ эффективности деятельности данной системы, куда входят также такие задачи, как поиски оптимальной структуры орг-ции, повышение сплоченности группы, анализ социальной системы с т. зр. ее устойчивости; исследование потоков информации (передачи сообщений при решении задач, влияние членов группы друг на друга в процессе сплачивания группы); при помощи Т. г. решают проблему нахождения оптимальной коммуникационной сети.

В применении к Т. г., так же как к любому математич. аппарату, верно утверждение, что осн. принципы решения задачи задаются содержат. теорией (в данном случае социологией).

Лит.: Беpж К., Т. г. и ее применение, пер. с франц., М., 1962; Кемени Дж., Снелл Дж., Томпсон Дж., Введение в конечную математику, пер. с англ., 2 изд., М., 1963; Ope О., Графы и их применение, пер. с англ., М., 1965; Белых О. В., Беляев Э. В., Возможности применения Т. г. в социологии, в сб.: Человек и общество, вып. 1, [Л.], 1966; Количеств. методы в социологич. исследованиях, М., 1966; Беляев Э. В., Проблемы социологич. измерения, "ВФ", 1967, No 7; Bavelas. Communication patterns in task oriented groups, в кн.: Lerner D., Lasswell H., Policy sciences, Stanford, 1951; Кemeny J. G., Snell J., Mathematical models in the social sciences, N. Y., 1962; Flament C., Applications of graph theory to group structure, N. Y., 1963; Оeser Ο. Α., Harаrу F., Role structures and description in terms of graph theory, в кн.: Вiddle В., Thomas E. J., Role theory: concepts and research, N. Y., 1966.

Э. Беляев. Ленинград.

Философская Энциклопедия. В 5-х т. — М.: Советская энциклопедия. Под редакцией Ф. В. Константинова. 1960—1970.