Энциклопедия Кольера - математический анализ

Аналитическая Геометрия,

прежде чем приступать к чтению данной статьи.

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ

Касательные. На рис. 1 показан фрагмент кривой y = 2x x2, заключенный между x = -1 и x = 3. Достаточно малые отрезки этой кривой выглядят прямыми. Иначе говоря, если Р произвольная точка этой кривой, то существует некоторая прямая, проходящая через эту точку и являющаяся приближением кривой в малой окрестности точки Р, причем чем меньше окрестность, тем лучше приближение. Такая прямая называется касательной к кривой в точке Р. Основная задача дифференциального исчисления заключается в построении общего метода, позволяющего находить направление касательной в любой точке кривой, в которой касательная существует. Нетрудно представить себе кривую с резким изломом (рис. 2). Если Р вершина такого излома, то можно построить аппроксимирующую прямую PT1 справа от точки Р и другую аппроксимирующую прямую РТ2 слева от точки Р. Но не существует единственной прямой, проходящей через точку Р, которая одинаково хорошо приближалась к кривой в окрестности точки P как справа, так и слева, следовательно касательной в точке P не существует.

Рис. 1.

Рис. 2.На рис. 1 касательная ОТ проведена через начало координат О = (0,0). Угловой коэффициент этой прямой равен 2, т.е. при изменении абсциссы на 1 ордината увеличивается на 2. Если x и y координаты произвольной точки на ОТ, то, удаляясь от О на расстояние х единиц вправо, мы удаляемся от О на 2y единиц вверх. Следовательно, y/x = 2, или y = 2x. Это уравнение касательной ОТ к кривой y = 2x x2 в точке О. Необходимо теперь объяснить, почему из множества прямых, проходящих через точку О, выбрана именно прямая ОТ. Чем же прямая с угловым коэффициентом 2 отличается от других прямых? Существует один простой ответ, и нам трудно удержаться от искушения привести его, используя аналогию с касательной к окружности: касательная ОТ имеет с кривой только одну общую точку, тогда как любая другая невертикальная прямая, проходящая через точку О, пересекает кривую дважды. В этом можно убедиться следующим образом. Поскольку выражение y = 2x x2 можно получить вычитанием х2 из y = 2x (уравнения прямой ОТ), то значения y для графика оказываются меньше знаний y для прямой во всех точках, за исключением точки x = 0. Следовательно, график всюду, кроме точки О, расположен ниже ОТ, и эта прямая и график имеют только одну общую точку. Кроме того, если y = mx уравнение какой-нибудь другой прямой, проходящей через точку О, то обязательно найдутся две точки пересечения. Действительно, mx = 2x x2 не только при x = 0, но и при x = 2 m. И только при m = 2 обе точки пересечения совпадают. На рис. 3 показан случай, когда m меньше 2, поэтому справа от О возникает вторая точка пересечения.

Рис. 3.То, что ОТ единственная невертикальная прямая, проходящая через точку О и имеющая с графиком лишь одну общую точку, не самое главное ее свойство. Действительно, если мы обратимся к другим графикам, то вскоре выяснится, что отмеченное нами свойство касательной в общем случае не выполняется. Например, из рис. 4 видно, что вблизи точки (1,1) график кривой y = x3 хорошо аппроксимируется прямой РТ, имеющей однако, с ним более одной общей точки. Тем не менее, нам хотелось бы считать РТ касательной к этому графику в точке Р. Поэтому необходимо найти какой-то иной способ выделения касательной, чем тот, который так хорошо послужил нам в первом примере.

Рис. 4.Предположим, что через точку О и произвольную точку Q = (h,k) на графике кривой y = 2x x2 (рис. 5) проведена прямая (называемая секущей). Подставляя в уравнение кривой значения x = h и y = k, получаем, что k = 2h h2, следовательно, угловой коэффициент секущей равен

Рис. 5.">. Вблизи x = 1 мы можем заменить график кривой касательной, не совершая при этом сколько-нибудь серьезной ошибки. Угловой коэффициент такой касательной равен значению производной (x1/3)' = (1/3)x -2/3 при x = 1, т.е. 1/3. Так как точка (1,1) лежит на кривой и угловой коэффициент касательной к кривой в этой точке равен 1/3, уравнение касательной имеет вид">при x = 1,033. Но можно воспользоваться тем, что число 1,033 близко к 1 и что . Вблизи x = 1 мы можем заменить график кривой касательной, не совершая при этом сколько-нибудь серьезной ошибки. Угловой коэффициент такой касательной равен значению производной (x1/3)' = (1/3)x -2/3 при x = 1, т.е. 1/3. Так как точка (1,1) лежит на кривой и угловой коэффициент касательной к кривой в этой точке равен 1/3, уравнение касательной имеет вид

и высотой h. Следовательно, на графике функции V(x) угловой коэффициент секущей заключен между p(r2 x2) и p[[r2 (x + h)2]]. Когда h стремится к нулю, угловой коэффициент стремится к">и высотой h, и больше, чем объем p[[r2 (x + h)2]]h цилиндра радиуса и высотой h. Следовательно, на графике функции V(x) угловой коэффициент секущей заключен между p(r2 x2) и p[[r2 (x + h)2]]. Когда h стремится к нулю, угловой коэффициент стремится к

Рис. 20.">

.">для n не равной -1. Так как (lnx)' = x-1, то .Во многих случаях, когда существует формула для неопределенного интеграла от заданной функции, ее можно найти в многочисленных широко публикуемых таблицах неопределенных интегралов. Табличными являются интегралы от элементарных функций (в их число входят степени, логарифмы, показательная функция, тригонометрические функции, обратные тригонометрические функции, а также их конечные комбинации, получаемые с помощью операций сложения, вычитания, умножения и деления). С помощью табличных интегралов можно вычислить интегралы и от более сложных функций. Существует много способов вычисления неопределенных интегралов; наиболее распространенный из них метод подстановки или замены переменной. Он состоит в том, что если мы хотим в неопределенном интеграле (2) заменить x на некоторую дифференцируемую функцию x = g(u), то, чтобы интеграл не изменился, надо x заменить на g'(u)du. Иначе говоря, справедливо равенство