Энциклопедия Кольера - вероятностей теория

ЭЛЕМЕНТАРНАЯ ТЕОРИЯ

В очень простых ситуациях интуитивно ясно, каким образом можно приписать вероятности отдельным событиям. Например, если в коробку положить 8 красных и 2 белых фишки для игры в покер и хорошенько потрясти ее, то представляется более вероятным, что, извлеченная из коробки, наудачу, фишка окажется красной; и действительно, вероятность извлечь красную фишку в четыре раза больше вероятности извлечь белую фишку. Так как это испытание (извлечение из коробки первой фишки) имеет 10 возможных исходов, из которых 8 приходится на долю красных фишек, то доля благоприятных исходов подсказывает, что вероятность извлечь красную фишку составляет 8/10 или 4/5. Ту же самую ситуацию нередко формулируют иначе, говоря, что шансы вынуть красную фишку равны 4 к 1; шансы p к q означают, что какое-то событие происходит с вероятностью p/(p + q). Аналогично при бросании симметричной игральной кости выпадению любой грани естественно приписать вероятность 1/6, а если мы бросаем симметричную монету, то любой из исходов выпадение "орла" или "решки" имеет вероятность 1/2. Но стоит перейти к более сложным событиям, как помощь со стороны интуиции становится менее надежной. Предположим, что мы бросаем две симметричные монеты. Существуют три возможных исхода: два "орла", две "решки" или "орел" и "решка". Большинство людей, поразмыслив, согласятся с тем, что этим исходам нельзя приписывать одну и ту же вероятность, поскольку два "орла" могут выпасть только в том случае, если первая монета выпадет вверх "орлом" и вторая монета также выпадет вверх "орлом", в то время как комбинация "орел" и "решка" возможна и если первая монета выпадет вверх "орлом", а вторая вверх "решкой", и если первая монета выпадет вверх "решкой", а вторая вверх "орлом". Короче говоря, анализ показывает, что трем возможным исходам бросаний двух монет следует приписать вероятности 1/4, 1/4 и 1/2. Корректность такого подхода можно подтвердить бросанием реальных монет в той же степени, в какой физические эксперименты подтверждают большинство законов природы. В более сложных ситуациях интуиция окончательно отказывает, и для того, чтобы правильно приписать ту или иную вероятность сложному событию, требуется некий математический инструмент ее подсчета. Вычисление вероятностей тесно связано с комбинаторным анализом, посвященным подсчету числа способов, которыми можно разместить те или иные объекты, или количества тех или иных событий, которые могут произойти при различных условиях. Элементарные вероятности определяются отношением числа случаев, при которых происходит интересующее нас событие (благоприятный исход), к общему числу случаев. Например, две игральные кости могут выпасть 36 способами, из которых только в 6 случаях сумма выпавших очков равна 7, поэтому вероятность выпадения 7 очков на двух костях равна 1/6. Два события, которые не могут происходить одновременно, называются взаимоисключающими. Например, при однократном бросании игральной кости 5 очков и 6 очков одновременно выпасть не могут. Вероятность того, что произойдет одно или другое взаимоисключающее событие, равна сумме вероятностей этих событий. Например, вероятность того, что при однократном бросании кости выпадет либо 5, либо 6 очков, равна 1/6 + 1/6 = 1/3.

Вероятность достоверного события (которое заведомо наступит) принимается равной 1, а вероятность события, наступление которого невозможно, считается равной 0. Очевидно, что наступление и ненаступление данного события взаимно исключают друг друга, а потому, если вероятность наступления какого-нибудь события равна p, то вероятность его ненаступления будет 1 p. Однако в более сложных задачах, когда число возможных исходов бесконечно велико, вероятность нельзя задать с помощью простого перечисления всех возможных случаев. Например, если мы представим себе испытание, состоящее в бесконечной серии бросаний симметричной монеты, то ситуация, когда во всех бросаниях выпадают только "орлы", в принципе не невозможна, хотя такому исходу необходимо приписать вероятность, равную 0, так как в высшей степени "невероятно", чтобы в любой достаточно длинной серии бросаний выпадали только "орлы". Для детального анализа вероятностных задач, более сложных, чем простые азартные игры, необходима более строгая и абстрактная формулировка. Именно она и будет рассмотрена ниже. Основной принцип комбинаторного анализа гласит: если что-либо одно можно осуществить m способами, а нечто другое n способами, то эти действия последовательно можно осуществить mґn способами. Например, обычно торшеры выпускаются с одной большой лампой, которая может работать в трех режимах или быть выключенной, и тремя лампами поменьше, которые можно включать по 0, 1, 2 или 3. Таким образом, у торшера всего 4ґ4 = 16 рабочих режимов (в одном из них все лампы выключены), поэтому правильнее было бы говорить, что торшер можно включать 15-ю различными способами, а не 16-ю, как иногда пишут в рекламных объявлениях. Четверых людей можно выстроить в ряд 4*3*2*1 = 24 способами, так как первого можно выбрать 4 способами, второго 3 способами, третьего 2 способами, а четвертого только одним. Но четырех людей можно посадить в четыре автобуса 4*4*4*4 = 256 способами, так как каждый из них может сесть в любой из четырех автобусов.

Перестановки и сочетания. Многие задачи теории вероятностей удается проанализировать, если воспользоваться некоторыми следствиями из приведенного выше комбинаторного принципа. Размещение предметов в определенном порядке называется перестановкой этих предметов. Например, существуют шесть перестановок чисел 1, 2, 3, а именно: 1, 2, 3; 1, 3, 2; 2, 1, 3; 2, 3, 1; 3, 1, 2; 3, 2, 1. Число перестановок из n предметов равно 1*2*3* ... *n. Сокращенно это число записывается как n! (и читается как "факториал числа n" или "n факториал"). Любое размещение предметов, порядок которых не имеет значения, называется сочетанием. Из набора чисел 1, 2, 3, 4, 5 можно извлечь десятью различными способами любые два числа, если мы условимся не различать пары, состоящие из одних и тех же чисел, взятых в различном порядке, т.е., например, не различать 1, 2 и 2, 1. Если из двенадцати человек нужно выбрать комитет в составе девяти членов, то это можно сделать столькими способами, сколько сочетаний из двенадцати по девять мы можем составить. Это, естественно, относится к случаю, когда сам порядок размещения членов внутри комитета несуществен. Однако число разных баскетбольных команд, которые можно составить из тех же двенадцати человек, равно числу перестановок из девяти элементов, которые можно набрать из этих двенадцати, так как в баскетбольной команде каждый игрок имеет свой номер. Вторая задача для анализа проще: существуют 12*11*10*9*8*7*6*5*4 перестановок, так как первый номер можно выбрать 12 различными способами, второй номер 11 способами и т.д., пока мы не дойдем до последнего, девятого, номера, который может быть выбран четырьмя способами. В первой задаче любая из 9! перестановок девяти членов комитета приводит к одному и тому же составу комитета, так как состав комитета не зависит от того, в каком порядке перечислять его членов; иначе говоря, число перестановок 12*11*10*9*8*7*6*5*4 дает ответ, который в 9! раз больше, чем нужно. Следовательно, число сочетаний из двенадцати человек по девять равно указанному произведению, деленному на 9!, или ">

">способами. Обратимся теперь к некоторым приложениям этих принципов. 1) Какова вероятность выпадения ровно двух шестерок при пяти бросаниях игральной кости (или, что то же, при одном бросании пяти костей)? Пять костей могут выпасть 65 способами. Две кости, на которых выпали шестерки, можно выбрать способами (сочетания появляются потому, что порядок, в котором выпадают шестерки, несуществен), т.е. (5*4*3*2*1)/((2*1) * (3*2*1)) = 10 способами. Нешестерки (их 5: 1, 2, 3, 4 и 5 очков) на остальных 3 костях могут выпасть 53 способами. Следовательно, мы получаем ровно две шестерки из пяти бросаний 10*53 способами; искомая вероятность, таким образом, равна 10*53/65 или 1250/7776, т.е. ок. 1/6. Вероятность выпадения не менее двух шестерок при пяти бросаниях кости несколько больше; она равна сумме вероятностей взаимоисключающих событий выпадения ровно 2, 3, 4, 5 или 6 шестерок при 5 бросаниях. 2) Какова вероятность получить ровно два туза, если из колоды, состоящей из 52, извлекаются 5 карт? Извлечь из колоды 5 карт можно способами. Пять карт, из которых два туза, а остальные три нетузы, можно получить, извлекая два туза способами, а три нетуза способами. Искомая вероятность равна Последовательное применение такого рода рассуждений иногда приводит к удивительным заключениям. 3) Какова вероятность совпадения дней рождения по крайней мере у двух из 23 случайно выбранных людей? Если предположить, что существует 365 равновероятных возможных дней рождения, то дни рождения 23 людей могут распределиться (365)23 способами. Число способов, которыми можно распределить по дням года не совпадающие дни рождения 23 людей, равно 365*364*363* ... *(365 22), так как после того, как мы выберем день года, на который приходится день рождения первого из них, у нас останется только 364 дня для выбора дня рождения второго, и т.д. Вероятность несовпадения всех 23 дней рождения равна отношению второго числа к первому. Вероятность же совпадения по крайней мере двух дней рождения равна 1 минус вероятность полного несовпадения всех 23 дней рождения. Таким образом, ответ нашей задачи равен , P) может существовать пара (или много пар) событий A и B из , таких, что О двух событиях A и B, обладающих этим свойством, говорят, что они "независимы". Независимость некоторых пар событий может быть интуитивно очевидной и даже служить своего рода путеводной нитью при построении вероятностного пространства. Так было, когда мы предположили, что вероятность следующих друг за другом исходов последовательных У и Н в серии испытаний равна произведению вероятностей отдельных событий У и Н. В более сложных моделях проверка независимости может быть сопряжена с определенными трудностями, но обычно позволяет по-новому взглянуть на ситуацию, представленную с помощью пространства элементарных событий. Чтобы проиллюстрировать изложенную выше теорию, рассмотрим задачи, которые были приведены ранее. В качестве пространства элементарных событий для игры в бридж проще всего принять пространство всеx n = взяток, а в качестве совокупность всех подмножеств из W. В примере с серией испытаний проще всего выбрать за множество всех серий длины n, состоящих из двух символов, а в качестве снова совокупность всех подмножеств из W. Таким образом, любое событие определяется тем, что происходит при одном или нескольких из n испытаний из . Тем не менее такого конечного пространства элементарных событий недостаточно для описания всех возможных случаев. Чтобы пояснить это обстоятельство, приведем несколько примеров.

Пример 1. Найти вероятность наступления первого У после k испытаний. Заметим, что ни одно конечное пространство элементарных событий не охватывает все k. Однако можно построить бесконечное пространство элементарных событий, которого будет достаточно для любого k. (В этом случае W состоит из всех возможных бесконечных последовательностей У и Н, но оказывается очень сложным.) Пусть p вероятность того, что первый исход У наступает при k-м испытании. Можно показать, что p = (1 p)k 1p. Кроме того, используя бесконечное пространство элементарных событий, можно показать, что наступление рано или поздно У достоверное событие, если p > 0. Это обстоятельство находит отражение в том, что ">

">. Решение нашей задачи о вероятности того, что первый исход У наступает после k испытаний, дается формулой Пример 2. Найти вероятность того, что при некотором k происходит "выравнивание", т.е. число исходов У становится равным числу исходов Н. В этой задаче бесконечное пространство элементарных событий работает уже на "всю мощь", так как в любом конечном пространстве элементарных событий такое явление, как наступление рано или поздно выравнивания, не наблюдается. Можно показать, что вероятность происходящего в конце концов выравнивания равна 1 1 2p. Отсюда мы заключаем, что такое выравнивание достоверно тогда и только тогда, когда вероятности У и Н равны. С предыдущими задачами тесно связана важная вероятностная модель, известная под названием "случайного блуждания" на целых числах. Наглядно это можно представить так: частица, которая при t = 0 находится в точке 0, совершает скачок (переход) в момент времени 1 либо в точку +1 (с вероятностью p), либо в точку -1 (с вероятностью (1 p)). Следовательно, если частица в момент времени n оказывается в точке k, то в момент времени n + 1 она с вероятностью p переходит в точку k + 1 и с вероятностью 1 p в точку k 1. Из примера 2 следует, что возвращение в исходную точку достоверно тогда и только тогда, когда p = 1/2 т.е. в случае т.н. симметричного случайного блуждания. Модификации и обобщения задачи о случайном блуждании представляют интерес не только в задачах, связанных с азартными играми (состояние в момент времени n в таких задачах можно интерпретировать как денежную сумму, которой располагает игрок в этот момент времени; можно поинтересоваться, например, какова вероятность, что игрок выиграет некоторую сумму денег прежде, чем проиграет свой начальный капитал); случайные блуждания имеют первостепенное значение для т.н. последовательного статистического анализа, самой общей теории проверки статистических гипотез. Некоторые из описанных выше случайных явлений могут быть естественным образом представлены действительнозначными величинами, такими как X количество исходов У в серии из n испытаний или Y количество испытаний до наступления первого исхода У в той же серии испытаний. Важнейшее достижение аксиоматической формулировки теории вероятностей состоит в том, что она предлагает простой способ изучения таких величин, называемых случайными величинами. Случайные величины можно определить как функции, заданные на пространстве элементарных событий (действительно, для каждой точки пространства W случайная величина X имеет заданное значение), и производить над ними многие обычные операции математического анализа, такие как сложение, умножение и даже интегрирование. Интеграл от случайной величины Z (принимающей целочисленные значения) можно определить как сумму