Энциклопедия Кольера - зенон элейский

Историческое окружение. Чтобы оценить роль Зенона в истории науки и развитии логики, необходимо рассмотреть состояние греческой философии в середине 5 в. до н.э. Ионийские философы из Малой Азии искали первоначало всех вещей, основной элемент, из которого образована Вселенная. Каждый останавливался на своем элементе: один отводил эту роль воде, другой воздуху, третий бескачественному "безграничному" или "неопределенному" (апейрон). Ионийцы полагали, что все известные нам виды материи возникают в результате непрерывно протекающих процессов сдавливания, разрежения и сгущения основного элемента. На этом постоянном изменении сделал акцент Гераклит Эфесский (6-5 в. до н.э.): река, в которую мы входим ныне, не та же самая, что была вчера; все меняется; гармония Вселенной это гармония противоположностей. Наконец, школа, основанная Пифагором (6 в. до н.э.), выдвинула в качестве основного элемента число, причем числа рассматривались как дискретные единицы, наделенные пространственным измерением. Учитель Зенона Парменид подверг критике все эти теории как монизм ионийцев, так и плюрализм пифагорейцев. Подвергая рассмотрению любой основной элемент, мы можем сделать о нем одно из трех утверждений: он существует; он не существует; он и существует, и не существует. Третье утверждение внутренне противоречиво, второе также немыслимо, поскольку об отсутствии чего-либо невозможно говорить, прибегая к тем же терминам, что использовались для его описания. Существование небытия невозможно даже представить. Следовательно, этот элемент существует. Изменение невозможно, поскольку это означало бы, что первоэлемент не был распределен с одинаковой плотностью повсюду, а пустоты быть не может, поскольку это было бы такое место, в котором первоэлемент не существует. Итак, Вселенная представляет собой неподвижный, неизменный, плотный и единовидный шар. Все есть Единое. Заметим, что Парменид приходит к этому выводу исключительно с помощью логики, не прибегая к умозрению или интуиции, характерным для систем его предшественников. Если вывод противоречит чувствам, тем хуже для чувств: видимость обманчива. Зенон продолжил дело, начатое Парменидом. Его тактика сводилась не к защите точки зрения учителя, а к демонстрации того, что из утверждений его оппонентов возникают еще большие нелепости. В связи с этим Зенон выработал метод опровержения противников посредством серии вопросов. Отвечая на них, собеседник был вынужден прийти к самым необычным парадоксам, с необходимостью следовавшим из его взглядов. Этот метод, получивший название диалектического (греч. "диалегомай" "разговаривать"), впоследствии применял Сократ. Поскольку главными противниками Зенона были пифагорейцы, большинство его парадоксов связано с атомистической концепцией пифагореизма. Поэтому они особенно значимы для современных атомистических теорий числа, пространства, времени и материи.

Парадоксы множества. Со времен Пифагора время и пространство рассматривались, с математической точки зрения, как составленные из множества точек и моментов. Однако они обладают также свойством, которое легче ощутить, нежели определить, а именно "непрерывностью". С помощью ряда парадоксов Зенон стремился доказать невозможность разделения непрерывности на точки или моменты. Его рассуждение сводится к следующему: предположим, что деление проведено нами до конца. Тогда верно одно из двух: либо мы имеем в остатке наименьшие возможные части или величины, которые неделимы, однако бесконечны по своему количеству, либо деление привело нас к частям, не имеющим величины, т.е. обратившимся в ничто, ибо непрерывность, будучи однородной, должна быть делимой повсюду, а не так, чтобы в одной своей части быть делимой, а в другой нет. Однако оба результата нелепы: первый потому, что процесс деления нельзя считать законченным, пока в остатке части, обладающие величиной, второй потому, что в таком случае изначальное целое было бы образовано из ничто. Симплиций приписывает это рассуждение Пармениду, однако кажется более вероятным, что оно принадлежит Зенону. Например, в Метафизике Аристотеля говорится: "Если единое само по себе неделимо, то по утверждению Зенона оно должно быть ничем, ибо он отрицает, чтобы то, что не увеличивается при прибавлении и не уменьшается при отнятии могло бы вообще существовать разумеется, по той причине, что все существующее обладает пространственными размерами". В более полном виде этот довод против множественности неделимых величин приводит Филопон: "Зенон, поддерживая своего учителя, старался доказать, что все сущее должно быть единым и неподвижным. Доказательство свое он основывал на бесконечной делимости любой непрерывности. Именно, утверждал он, если сущее не будет единым и неделимым, но может делиться на множество, единого по сути вообще не будет (ибо если непрерывность можно делить, это будет означать, что ее можно делить до бесконечности), а если ничто не будет по сути единым, невозможно и множество, поскольку множество составлено из многих единиц. Итак, сущее не может быть разделено на множество, следовательно, есть только единое. Это доказательство может строиться и по-другому, а именно: если не будет сущего, которое неделимо и едино, не будет и множества, ибо множество состоит из многих единиц. А ведь каждая единица либо едина и неделима, либо сама делится на множество. Но если она едина и неделима, Вселенная составлена из неделимых величин, если же единицы сами подлежат делению, мы будем задавать тот же самый вопрос относительно каждой из подлежащих делению единиц, и так до бесконечности. Таким образом, если существующие вещи множественны, Вселенная окажется образованной бесконечным числом бесконечностей. Но поскольку этот вывод нелеп, сущее должно быть единым, а быть множественным ему невозможно, ведь тогда придется каждую единицу делить бесконечное число раз, что нелепо". Симплиций приписывает Зенону несколько видоизмененный вариант того же аргумента: "Если множество существует, оно должно быть точно таким, каково оно есть, не больше и не меньше. Однако, если оно таково, каково есть, оно будет конечным. Но если множество существует, вещи бесконечны по числу, потому что между ними всегда будут обнаруживаться еще другие, а между теми еще и еще. Таким образом, вещи бесконечны по числу". Рассуждения о множественности были направлены против соперничавшей с элеатами школы, вероятнее всего, против пифагорейцев, которые полагали, что величина или протяженность составлена из неделимых частей. Зенон считал, что эта школа полагает, будто непрерывные величины и до бесконечности делимы и конечным образом разделены. Предельные элементы, из которых, как предполагалось, состояло множество, имели, с одной стороны, свойства геометрической единицы точки; с другой они обладали некоторыми свойствами числового единства числа. Подобно тому как из повторных прибавлений единицы строится числовой ряд, линия считалась составленной многократным прибавлением точки к точке. Аристотель приводит следующее пифагорейское определение точки: "Единица, имеющая положение" или "Единица, взятая в пространстве". Это означает, что пифагореизм усвоил своего рода числовой атомизм, с точки зрения которого геометрическое тело не отличается от физического. Парадоксы Зенона и открытие несоизмеримых геометрических величин (ок. 425 до н.э.) привели к возникновению непреодолимого разрыва между арифметической дискретностью и геометрической непрерывностью. В физике существовало два в чем-то аналогичных лагеря: атомисты, отрицавшие бесконечную делимость материи, и последователи Аристотеля, которые ее отстаивали. Аристотель вновь и вновь разрешает парадоксы Зенона как для геометрии, так и для физики, утверждая, что бесконечно малое существует лишь в потенции, но не в реальности. Для современной математики такой ответ неприемлем. Современный анализ бесконечности, в особенности в трудах Г.Кантора, привел к определению континуума, лишающему антиномии Зенона парадоксальности.

Парадоксы движения. Значительная часть обширной литературы, посвященной Зенону, рассматривает его доказательства невозможности движения, поскольку именно в этой области воззрения элеатов вступают в противоречие со свидетельствами чувств. До нас дошли четыре доказательства невозможности движения, получившие названия "Дихотомия", "Ахилл", "Стрела" и "Стадий". Неизвестно, было ли их только четыре и в книге Зенона или же Аристотель, которому мы обязаны отчетливыми их формулировками, выбрал те, которые показались ему самыми трудными.

Дихотомия. В первом парадоксе утверждается, что, прежде чем движущийся объект сможет преодолеть определенное расстояние, он должен пройти половину этого пути, затем половину оставшегося пути и т.д. до бесконечности. Поскольку при повторных делениях данного расстояния пополам всякий отрезок остается конечным, а число таких отрезков бесконечно, данный путь невозможно пройти за конечное время. Более того, этот довод действителен для любого, сколь угодно малого расстояния, и для любой, сколь угодно большой скорости. Следовательно, невозможно какое бы то ни было движение. Бегун не в состоянии даже тронуться с места. Симплиций, который подробно комментирует этот парадокс, указывает, что здесь за конечное время необходимо совершить бесконечное число касаний: "Тот, кто чего-либо касается, как бы считает, однако бесконечное множество невозможно сосчитать или перебрать". Или, как формулирует это Филопон, "бесконечное абсолютно неопределимо". Для того, чтобы пройти каждое из подразделений протяженности, с необходимостью требуется ограниченный временной интервал, но бесконечное число таких интервалов, как бы мал ни был каждый из них, в совокупности не может дать конечной длительности. Аристотель усматривал в "дихотомии" скорее заблуждение, нежели парадокс, полагая, что его значимость сводится на нет "ложной посылкой.., будто невозможно пройти или коснуться бесконечного числа точек за конечный период времени". Также и Фемистий полагает, что "Зенон либо в самом деле не знает, либо делает вид, когда полагает, что ему удалось покончить с движением, сказав, что невозможно движущемуся телу за конечный период времени пройти бесконечное число положений". Аристотель считает точки лишь потенциальным, а не действительным бытием, временной или пространственный континуум "в реальности не делится до бесконечности", поскольку не такова его природа.

Ахилл. Во втором парадоксе движения рассматривается состязание в беге между Ахиллом и черепахой, которой при старте дается фора. Парадокс заключается в том, что Ахилл никогда не догонит черепаху, поскольку сперва он должен добежать до того места, откуда начинает двигаться черепаха, а за это время она доберется до следующей точки и т.д., словом, черепаха всегда будет впереди. Разумеется, это рассуждение напоминает дихотомию с той только разницей, что здесь бесконечное деление идет сообразно прогрессии, а не регрессии. В "Дихотомии" доказывалось, что бегун не может пуститься в путь, потому что он не может покинуть того места, в котором находится, в "Ахилле" доказывается, что даже если бегуну удастся тронуться с места, он никуда не прибежит. Аристотель возражает, что бег это не прерывный процесс, как толкует его Зенон, а непрерывный, однако этот ответ возвращает нас к вопросу, каково отношение дискретных положений Ахилла и черепахи к непрерывному целому? Современный подход к этой проблеме заключается в вычислениях (либо методом сходящихся бесконечных рядов, либо простым алгебраическим уравнением), которыми устанавливается, где и когда Ахилл нагонит черепаху. Предположим, Ахилл бежит в десять раз быстрее черепахи, которая проходит 1 м в секунду и имеет преимущество в 100 м. Пусть х расстояние в метрах, пройденное черепахой к тому моменту, когда Ахилл ее нагонит, а t время в секундах. Тогда t = x/1 = (100 + x)/10 = 111/9 с. Вычисления показывают, что бесконечному количеству движений, которые должен совершить Ахилл, соответствует конечный отрезок пространства и времени. Однако самими по себе вычислениями парадокс не разрешается. Ведь сначала необходимо доказать утверждение, что расстояние это скорость, умноженная на время, а сделать это невозможно без анализа того, что подразумевается под моментальной скоростью понятием, лежащим в основе третьего парадокса движения. В большинстве источников, где излагаются парадоксы, говорится о том, что Зенон вообще отрицал возможность движения, но иногда утверждается, что доводы, которые он отстаивал, были направлены лишь на доказательство несовместимости движения с постоянно оспаривавшимся им представлением о непрерывности как о множестве. В "Дихотомии" и "Ахилле" утверждается, что движение невозможно при предположении о бесконечной делимости пространства на точки, а времени на мгновения. В последних двух парадоксах движения утверждается, что движение равным образом невозможно и в том случае, когда делается противоположное предположение, а именно, что деление времени и пространства завершается неделимыми единицами, т.е. время и пространство обладают атомарной структурой.

Стрела. Согласно Аристотелю, в третьем парадоксе о летящей стреле Зенон утверждает: любая вещь либо движется, либо стоит на месте. Однако ничто не может пребывать в движении, занимая пространство, которое равно ему по протяженности. В определенный момент движущееся тело (в данном случае стрела) постоянно находится на одном месте. Следовательно, летящая стрела не движется. Симплиций формулирует парадокс в сжатой форме: "Летящий предмет всегда занимает пространство, равное себе, но то, что всегда занимает равное себе пространство, не движется. Следовательно, оно покоится". Филопон и Фемистий дают близкие к этому варианты. Аристотель с наскока отмел парадокс "стрела", утверждая, что время не состоит из неделимых моментов. "Ошибочен ход рассуждений Зенона, когда он утверждает, что если все, занимающее равное себе место, находится в покое, и то, что находится в движении, всегда занимает в любой момент такое место, то летящая стрела окажется неподвижной". Трудность устраняется, если вместе с Зеноном подчеркнуть, что в каждый данный момент времени летящая стрела находится там, где она находится, все равно как если бы она покоилась. Динамика не нуждается в понятии "состояния движения" в аристотелевском смысле, как реализации потенции, однако это не обязательно должно приводить к сделанному Зеноном выводу, что раз такой вещи, как "состояние движения", не существует, не существует и самого движения, стрела неизбежно находится в покое.

Стадий. Больше всего споров вызывает последний парадокс, известный под названием "стадий", и он же труднее прочих поддается изложению. Тот его вид, в котором он дан Аристотелем и Симплицием, отличается фрагментарностью, и соответствующие тексты считаются не вполне надежными. Возможная реконструкция данного рассуждения имеет следующий вид. Пусть А1, А2, А3 и А4 неподвижные тела равного размера, а В1, В2, В3 и В4 тела, имеющие такой же размер, что и А, которые единообразно движутся вправо так, что каждое В минует каждое А за одно мгновение, считая мгновение наименьшим возможным промежутком времени. Пусть С1, С2, С3 и С4 тела также равного А и В размера, которые единообразно движутся относительно А влево так, что каждое С проходит мимо каждого А тоже за мгновение. Предположим, что в определенный момент времени эти тела находятся в следующем положении друг относительно друга: