Энциклопедия Брокгауза и Ефрона - арифметическая средняя

А. средняя из нескольких величин получается разделением суммы этих величин на их число. Так, А. средняя из a1, a2,…an есть a = (a1+a2+…+аn). Главные свойства А. средней содержатся в следующих двух положениях: 1) Сумма уклонений всех данных от их А. средней равна нулю: так, из написанной формулы очевидно следует: (a1—a) + (a2—a) +…+ (an—а) = 0, что и требовалось доказать. 2) Сумма квадратов уклонений отдельных данных от арифметической средней имеет наименьшую величину, т. е. (a1—a)² + (a2—a)² +…+ (an—a)² = minimum, так как если вместо а мы возьмем a±h, то получим для новой суммы квадратов уклонений ∑(аi—а+h)² = ∑(аi—a)² ± 2h∑(ai—a) + nh², a так как ∑(ai—a) = 0, то эта сумма = ∑(аi—a)² + nh², что очевидно больше ∑(ai—a)², что и требовалось доказать.

А. средняя имеет обширное применение и громадное значение во всех научных измерениях или счислениях. Если произведен ряд наблюдений над величиною какого-нибудь объекта и для этой величины найдены различные значения а1, а2. . . an, то вероятнейшее значение измеренной величины есть а — арифмет. средняя из отдельных наблюдений. Это имеет место в том случае, когда измерения а1 одинаково точны и достоверны, т. е. равновески. Если же точность этих измерений не одинакова, если, напр., результат a1 получен из p1 отдельных наблюдений, результат а2 из р2 таких же наблюдений,.. . результат а из рn таких же наблюдений, то вместо простой А. средней должно взять величину а = (p1a1 + p2a2 +…+ pnan)/(p1 + p2 +…+ pn), короче ∑piai:∑pi.

Должно различать два рода А. средних; в одном случае средняя выражает вероятнейшую величину какого-нибудь объекта измерения, напр. вероятнейший рост человека, измеренного несколько раз. В другом случае А. средняя есть фиктивная величина, изображающая средний тип группы различных предметов, напр. средний рост большого числа людей. Иногда различают еще третий вид средних, который получается в некоторых исследованиях как точный результат из двух чисел, в которых в одном случае некоторая посторонняя причина действовала в одном направлении, в другом случае, с такою же силою, в противоположном; напр. в астрономических наблюдениях кульминационная ошибка при двух противоположных положениях трубы или при выводе широты места из наблюдений двух звезд в нижней и верхней кульминации их.

Принцип А. средней при выводе вероятнейшего результата, вероятно, применялся, более или менее случайным образом, уже в древности; изречение αριστον μέτρον, вероятно, прилагалось не только к философским теориям. Однако до Лежандра и в особенности Гаусса, т. е. до XIX-го столетия, не существовало теории ошибок и систематических способов вычисления результатов наблюдений, а понятие средней как типа было впервые прочно установлено в науке трудами Кетле, в середине настоящего столетия. А. средняя и приложение ее к выводу вероятнейшего результата из ряда несогласных наблюдений породила целую литературу, до сих пор еще не сказавшую последнего слова о пределах применимости этого способа. Скиапарелли показал, что А. средняя есть единственная функция системы чисел, обладающая следующими двумя свойствами: 1) она не изменяется от изменения единиц, в которых выражены эти числа, т. е. аналитически: если все данные числа увеличить в m. раз, то и средняя увеличится в m. раз, и 2) она не изменяется от перемещения точки нуля, от которой отсчитываются данные числа, т. е. если ко всем данным числам прибавить некоторое число h, то и к средней прибавится то же число h. А. средняя может рассматриваться как основание метода наименьших квадратов (см. это сл.) или как следствие или частный случай его (см. Ошибки).

Энциклопедический словарь Ф.А. Брокгауза и И.А. Ефрона. — С.-Пб.: Брокгауз-Ефрон

1890—1907