Энциклопедия Брокгауза и Ефрона - координаты в математике

— величины, определяющие положение точки. В Декартовых прямоугольных К. положение точки определяется тремя расстояниями ее от трех взаимно перпендикулярных плоскостей; пересечения этих плоскостей представляют собой три прямые, выходящие из одной точки, называемой началом, и именуются осями К. Декартовы косые К. — в них три координатные плоскости составляют между собой углы не прямые, и за К. точки принимаются расстояния ее от плоскостей, считаемые по прямым параллельным осям. Однородные К — положение точки определяется величинами X, Y, Z, T, помноженными на произвольные множители, причем сами эти величины представляют собой расстояния точки от четырех сторон некоторого тетраэдра. Между величинами Х, Y, Z и Т всегда существует соотношение вида aX+bY+cZ+dT =1, где а, b, с, d есть константы. Каждая Декартова К. x может быть выражена формулой x=(тХ+пТ+pZ+qT)/(аХ+bY+cZ+dT) и все уравнения выходят однородными. Трилинейные К. В геометрии на плоскости вместо тетраэдра берется треугольник и положение точки определяется расстояниями ее от сторон этого треугольника, помноженными на произвольные множители. Бинарные К. — за К. точки, на определенной прямой, могут быть приняты расстояния точки от двух данных точек, помноженные на произвольные множители. За полярные К. на плоскости принимаются: расстояние ОМ = ρ точки М от определенной точки О, называемой началом, и угол θ, составляемый прямой ОМ с некоторой определенной прямой ОА, называемой полярной осью. Расстояние ОМ = ρ называется радиусом-вектором. Чтобы от этих К. перейти к полярным К. в пространстве, представим себе, что плоскость, проходящая через точку M и полярную ось ОА, вращается около полярной оси, и введем новую К. λ = угол, составляемый этой плоскостью с некоторой неподвижной плоскостью, проходящей через ОА.

Координаты сферические. — Если начало полярных координат взять в центре сферы, то все точки сфер имеют одинаковый радиус-вектор и останутся изменяемыми только углы θ и λ. Обычно вместо θ берется другая координата φ =90θ, которая называется широтой, угол же λ — долготой. Этими двумя координатами определяются географические положения точек земного шара. В координатах полуполярных или цилиндрических положение точки определяется расстоянием ее от некоторой плоскости и полярными координатами ρ и θ ее проекции на эту плоскость. В биполярных координатах на плоскости положение точки определяется расстояниями ее от двух данных точек. Тангенциальные координаты — положение плоскости может быть определено тремя величинами, например, тремя отрезками, отсекаемыми плоскостью от трех данных прямых, выходящих из одной точки. Уравнением f (u, v, w)=O между этими отрезками u, v, w определяется множество плоскостей, огибающих некоторую поверхность. Если это уравнение линейное, то им определяется точка и величины u, v, w называются тангенциальными координатами. Полярные тангенциальные координаты — Гальфен называет длину р перпендикуляра, опущенного из неподвижной точки на касательную к кривой, и угол θ, составляемый этим перпендикуляром с данным направлением, полярными тангенциальными координатами. Плюкеровы координаты прямой: прямая в Декартовых координатах выражается уравнениями: bz-cy+a'=0; cx-az+b'=O, из которых вытекает: ay-bx+c'=O, при условии aa'+bb'+cc'=O. Величины: a, a', b, b', c, c' определяют положение прямой и называются координатами прямой. Криволинейные координаты — если три поверхности f1(х, у, z)= λ, f2(х, у, z)= μ, f3(х, у, z)= ν, в которых λ, μ и ν есть произвольные параметры, пересекаются в точке, положение которой определяется, то параметры λ, μ и ν могут быть приняты за координаты этой точки. С изменением параметров каждое из написанных трех уравнений представляет особое семейство координатных поверхностей. Если за координатные поверхности приняты эллипсоиды, однополые гиперболоиды и двуполые гиперболоиды, представляющие собой поверхности конфокальные, то координаты называются эллиптическими.

Н. Делоне.

Энциклопедический словарь Ф.А. Брокгауза и И.А. Ефрона. — С.-Пб.: Брокгауз-Ефрон

1890—1907