Этимологический словарь Фасмера - байка

ба́йка впервые в 1720 г., см. Смирнов 53; ср. польск. baja, bajka "байка". Вероятно, заимств. через голл. baai из франц. baie "шерстяная материя", откуда и нем. Boi – то же. Первоисточником этих слов является лат. badius "каштановый, светлокоричневый"; см. Маценауэр 101; Преобр. 1, 12; Клюге-Гётце 68.

Этимологический словарь русского языка. — М.: Прогресс

М. Р. Фасмер

1964—1973