Словарь русских фамилий - адашев

В тюркских языках адаш означает тёзка, переносно друг, товарищ, близкий человек. (Ф)

Адашевы. Дворяне с XVI века. От князя Адаша, в середине XV века помещенного из Казани в Пошехонье. В 1510 году в Костроме упоминается Григорий Адаш-, от которого, по мнению С.Б.Веселовского (1974, с. 9), пошли Адашевы. В первой половине и середине XVI века Адашевы (Александр и Даниил Федорович) активные военные и дипломаты Ивана IV, казнены им в 1561 и 1563 годах соответственно.

Имели поместья в окрестностях Коломны и Переяславля (РБС, 1, с. 62-71; , 1988, с. 9).Тюрко-татарское адаш означает 'соплеменник', 'сотоварищ'. Известен под 1382 годом Адаш посол Тохтамыша на Руси. Такое же происхождение имеет и Адаев.(СТ)

Может бть и от имени Адриан (см. Адрианов). .