Словарь русских фамилий - баженов

Бажан и Бажен чрезвычайно распространенные в старину русские нецерковные имена. Нарицательное значение обоих: желанный, сердечный, милый. (Ф). Фамилия Бажанов связана с обстоятельствами рождения ребенка: бажен желанное дитя. Мирские имена Бажен и Бажан были распространены по всей Руси. То же значение имеют фамилии Баженов и Бажутин. (У)

У Даля баженый также баловень, изнеженный любимец, бажутка желанная, милая. Бажанов. Дворяне с XVII века. От тюрко-татарского бажа 'свояк, муж сестры жены'. В последующем архитекторы, учёные.(СТ)

Фамилии Бажин, Бажуков из запросов посетителей. Вероятно, имеют ту же основу. .