Словарь русских фамилий - вольнов

Отчество от прозвища или нецерковного мужского личного имени Клюй, подтвержденного документально: в 1638 г. по Москве записан Гаврило Клюй. В 1678 г. сибирский казак Бориско Клюев, фамилия это или еще отчество неизвестно.

Этимология спорна: 'От клювый 'красивый, статный, видный' или 'человек с длинным орлиным носом, похожим на клюв'. Оба объяснения минуют имя, а фамилия образована именно из него. Имя могло возникнуть из глагола клевать, дающего для этого фонетически готовые основы (форму настоящего времени, повелительное наклонение клюй), или из отглагольного существительного.