Большая Советская энциклопедия - группа

I

Гру́ппа

одно из основных понятий современной математики. Теория Г. изучает в самой общей форме свойства действий, наиболее часто встречающихся в математике и её приложениях (примеры таких действий — умножение чисел, сложение векторов, последовательное выполнение преобразований и т. п.). Общность теории Г., а вместе с тем и широта её приложений обеспечиваются тем, что она изучает свойства действий в их чистом виде, отвлекаясь как от природы элементов, над которыми выполняется действие, так и от природы самого действия. В то же время теория Г. изучает не совсем произвольные действия, а лишь те, которые обладают рядом основных свойств, перечисляемых в определении Г. (см. ниже).

К понятию Г. можно прийти, например, исследуя симметрию геометрических фигур. Так, квадрат (рис. a) представляется симметричной фигурой, так как, например, его поворот j около центра на 90° по часовой стрелке или Зеркальное отражение y относительно диагонали AC не изменяют его положения; всего существует 8 различных движений (См. Движение), совмещающих квадрат с собой. Для круга (рис. б) таких движений, очевидно, уже бесконечно много — таковы, например, все его повороты около центра. А для фигуры, изображенной на рис. в, существует лишь одно движение, совмещающее её с собой, — тождественное, т. е. оставляющее каждую точку фигуры на месте.

Множество G различных движений, самосовмещающих данную фигуру, и служит характеристикой большей или меньшей её симметричности: чем больше множество G, тем симметричнее фигура. Определим на множестве G композицию, т.е. действие над элементами из G, по следующему правилу: если j,y — два движения из G, то результатом их композиции (иногда говорят «произведением» j и y) называется движение jοy, равносильное последовательному выполнению сначала движения j , а затем движения y. Например, если j, y — движения квадрата, указанные выше, то φοψ — отражение квадрата относительно оси, проходящей через середины сторон AB и CD. Множество движений G, взятое с определённой на нём композицией, называется группой симметрии данной фигуры. Очевидно, композиция на множестве G удовлетворяет следующим условиям: 1) (φ○ψ)○θ = φ○ (ψ○θ) для любых φ, ψ, θ из G; 2) в G существует такой элемент ε, что ε○φ = φ○ε = φ для любого φ из G; 3) для любого φ из G существует в G такой элемент φ^-1, что φ○φ^-1 =

φ^-1○φ = ε. Действительно, в качестве ε можно взять тождественное движение, а в качестве φ^-1 — движение, обратное φ, т. е. возвращающее каждую точку фигуры из нового положения в старое.

Общее (формальное) определение Г. таково. Пусть G — произвольное множество каких-нибудь элементов, на котором задана композиция (иначе: действие над элементами): для любых двух элементов φ,ψ из G определён некоторый элемент φοψ снова из G. Если при этом выполняются условия 1), 2), 3), то множество G с заданной на нём композицией называется группой.

Например, если G — множество всех целых чисел, а композиция на G — их обычное сложение (роль ε будет играть число 0, а роль (φ^-1 — число —φ), то G — группа. Часть Н множества G, состоящая из чётных чисел, сама будет Г. относительно той же композиции. В таких случаях говорят, что Н — подгруппа группы G. Отметим, что обе эти Г. удовлетворяют следующему дополнительному условию: 4) φ○ψ = ψ○φ для любых φ, ψ из группы. Всякая группа с этим условием называется коммутативной, или абелевой.

Ещё один пример группы. Подстановкой множества символов 1, 2, ..., n называется таблица

где в нижней строчке стоят те же символы 1, 2, ..., n, но, вообще говоря, в другом порядке. Композицию двух подстановок φ,ψ определяют следующим правилом: если под символом х в подстановке φ стоит символ у, а под символом у в подстановке ψ стоит символ z, то в подстановке φ○ψ под символом х ставится символ z. Например,

Рис. к ст. Группа.

II

Гру́ппа (нем. Gruppe)

(военное), 1) объединение соединений и частей под общим командованием старшего начальника для выполнения оперативной (боевой) задачи. В ход Великой Отечественной войны 1941—45 в Советских Вооруженных Силах создавались оперативные Г., выполнявшие задачи во фронтовой наступательной или оборонительной операции обычно в отрыве от главных сил, и подвижные Г. для развития наступления в глубине обороны противника после её прорыва. Для обеспечения боевых действий создавались артиллерийские (миномётные) и зенитно-артиллерийские Г. 2) В 30-х гг. 20 в.часть боевого порядка соединений сов. сухопутных войск который делился на ударную сковывающую и огневую Г. 3) Штатная организация а) в вооруженых силах США: Г. армейской авиации, Г. войск специального назначения (для ведения диверсионно-подрывных действий на территории противника); 6) в вооруженных силах Великобритании: пехотная бригадная Г. общевойсковое тактическое соединение.

III

Гру́ппа (геологическое)

подразделение общей стратиграфической шкалы, объединяющее комплекс пород, образовавшихся в течение одной геологической эры. Термин «Г.» был принят на 2-й сессии Геологического международного конгресса в 1801. Американские геологи, оспаривая это решение, применяют вместо Г. термин эратема, а Г. называют подразделение местной стратиграфической шкалы. Г. подразделяются на системы; несколько Г. составляют эоно тему. Каждая Г. соответствует определенному этапу развития Земли и земной коры, характеризуется своеобразием геологических отложений и ископаемых организмов, Различают пять Г.: архейскую, протерозойскую, палеозойскую, мезозойскую и кайнозойскую.

Б.М. Келлер.

Большая советская энциклопедия. — М.: Советская энциклопедия

1969—1978