Большая Советская энциклопедия - исчерпывания метод

метод доказательства, применявшийся математиками древности при нахождении площадей и объёмов. Название «метод исчерпывания» введено в 17 в.

Типичная схема доказательства при помощи И. м. может быть изложена в современных обозначениях так: для определения величины А строится некоторая последовательность величин C1, C2, ..., Cn, ... так, что

Cn < A; (1)

предполагают также известным такое В, что

Cn целом emК/em для достаточно больших emn/em удовлетворяются неравенства/div/ppdiv emК/em (emA/em — emCsubn/sub/em) < emD/em, emК/em (emВ/em — emCsubn/sub/em) < emD/em, (3)/div/ppdiv где emD/em — постоянно. С современной точки зрения, для перехода от неравенств (3) к равенству/div/ppdiv emА/em = emВ/em (4)/div/ppdiv достаточно заметить, что из условий (1), (2) и (3) следует/div/ppdiv img src="http://i.enc-dic.com/dic/enc_sovet/images/0197746057.gif"/div/ppdiv Математики древности, не располагавшие теорией Пределов, обращались к доказательству от противного и доказывали невозможность каждого из неравенств emА /emem В/em, emВ /emem А/em. Чтобы опровергнуть первое из них, при помощи аксиомы Евдокса — Архимеда (см. Архимеда аксиома) устанавливали, что для emR /em=em B — А/em существует такое emК/em, что emKR /emem D/em и в силу условия (1) получали/div/ppdiv emК/em (emВ/em — emCsubn/sub/em)strong /strong emК/em (emВ/em — emA/em) > D,

что противоречит второму из неравенств (3). Аналогично опровергалось другое предположение. После этого оставалось принять только равенство (4).

Введение И. м. вместе с лежащей в его основе аксиомой приписывается Евдоксу Книдскому. Этим методом широко пользовался Евклид, а с особенным искусством и разнообразием — Архимед. Например, для определения площади сегмента А параболы Архимед строит площади C1, C2, ..., «исчерпывающие» при их постепенном нарастании площадь A сегмента, по схеме, ясной из чертежа. При этом

Вместо того чтобы прибегнуть к предельному переходу,

Архимед геометрически доказывает, что при любом n

Вводя площадь

Архимед получает, что

и, следуя изложенному выше порядку, заканчивает доказательство того, что

Рис. к ст. Исчерпывания метод.

Большая советская энциклопедия. — М.: Советская энциклопедия

1969—1978