Большая Советская энциклопедия - кольцо

алгебраическое, одно из основных понятий современной алгебры. Простейшими примерами К. могут служить указанные ниже системы (множества) чисел, рассматриваемые вместе с операциями сложения и умножения: 1) множество всех целых положительных, отрицательных чисел и нуля; 2) множество всех чётных чисел и вообще целых чисел, кратных данному числу n, 3) множество всех рациональных чисел. Общим в этих трёх примерах является то, что сложение и умножение чисел, входящих в систему, не выводят за пределы системы (следует отметить, что и вычитание не выводит за пределы системы). В различных областях математики часто приходится иметь дело с разнообразными множествами (они могут состоять, например, из Многочленов или матриц (См. Матрица), см. примеры 7 и 9), над элементами которых можно производить две операции, весьма похожие по своим свойствам на сложение и умножение обычных чисел. Предметом теории К. является изучение свойств обширного класса такого рода множеств.

Кольцом называют непустое множество R, для элементов которого определены две операции — сложение и умножение, сопоставляющие любым двум элементам а, b из R, взятым в определённом порядке, один элемент а + b из R — их сумму и один элемент ab из R — их произведение, причём предполагаются выполненными следующие условия (аксиомы К.):

I. Коммутативность сложения:

а+b=b+ а.

II. Ассоциативность сложения:

а + (b + с) = (а + b) + с.

III. Обратимость сложения (возможность вычитания): уравнение а + х = b допускает решение х = b—a.

IV. Дистрибутивность: а (b + с) = ab+ac, (b + с) а = ba + са.

Перечисленные свойства показывают, что элементы К. образуют коммутативную группу (См. Группа) относительно сложения. Дальнейшими примерами К. могут служить множества; 4) всех действительных чисел; 5) всех комплексных чисел; 6) комплексных чисел вида a + bi с целыми а, b; 7) многочленов от одного переменного х с рациональными, действительными или комплексными коэффициентами; 8) всех функций, непрерывных на данном отрезке числовой прямой; 9) всех квадратных матриц порядка n с действительными (или комплексными) элементами; 10) всех кватернионов (См. Кватернионы); 11) всех чисел Кэли — Диксона, то есть выражений вида α + βе, где α, β — кватернионы, е — буква; сложение и умножение чисел Кэли — Диксона определяются равенствами (α + βе) + (α1 + β1e) = (α + α1) + (β + β1) e, (α + βе)(α1 + β1e) = (αα1 — β1) + (αα1 + βα̅) e, где α̅ — кватернион, сопряжённый к α; 12) всех симметрических матриц (См. Симметрическая матрица) порядка n с действительными элементами относительно операций сложения матриц и «йорданового» умножения а∙b =