Большая Советская энциклопедия - конечных разностей исчисление

раздел математики, в котором изучаются функции при дискретном (прерывном) изменении аргумента, в отличие от дифференциального исчисления (См. Дифференциальное исчисление) и интегрального исчисления (См. Интегральное исчисление), где аргумент предполагается непрерывно изменяющимся. Конечными разностями «вперёд» для последовательности значений y1= f (x1), y2 = f (x2),..., yk = f (xk),... функции f (x), соответствующих последовательности значений аргумента x0,..., xk,,... (xk = х0 + kh, h — постоянное, k — целое), называют выражения:

Δyk ≡ Δf (xk) = f (xk+1) f (xk)

(разности 1-го порядка),

Δ²yk ≡ Δ²f (xk) = Δf (xk+1)- Δf (xk) = f (xk+2)-2f (xk+1) + f (xk)

(разности 2-го порядка),

Δⁿyk ≡ Δⁿf (xk) = Δ^n-1f (xk+1) Δ^n-1f (xk)

(разности n-го порядка).

Соответственно, конечные разности «назад» Δⁿyк определяются равенствами

Δⁿyк = Δⁿyк + n.

При интерполяции (См. Интерполяция) часто пользуются т. н. центральными разностями δⁿy, которые вычисляются при нечётном n в точках х = xi+¹l2h, а при чётном n в точках х = xi по формулам

δf (xi + ¹/2h) ≡ δyi+1/2 = f (xi+1) f (xi),

δ²f (xi) ≡ δ²yi = δyi+1/2,

δ^2m-1f (xi + ¹/2h) ≡ δ^2т—1yi+1/2 = δ^2т—2yi+1-δ^2т—2yi,

δ^2mf (xi) ≡ δ^2туi = δ^2т—1yi+1/2 δ^2т—1yi-1/2

Они дополняются средними арифметическими