Толковый словарь Ефремовой - поспевать

Становиться спелым; созревать.

2. несов. неперех. разг.

1) а) Быть готовым, законченным к какому-л. сроку.

б) Дойти до состояния готовности, быть готовым к употреблению (о пище, напитках).

2) а) Справляться с чем-л. в определенный срок.

б) Успевать.

в) Не отставая, следовать за кем-л., чем-л.