Энциклопедия техники - пограничный слой

тонкий по сравнению с характерным линейным размером тела слой жидкости или газа, прилегающий к твёрдой поверхности, в котором градиенты газодинамических переменных в нормальном к стенке направлении столь велики, что инерционные силы и силы трения имеют здесь один и тот же порядок. П. с. образуется при больших Рейнольдса числах

Re = QVL/(μ),

где V — характерная скорость, L — характерный линейный размер, (μ) — характерная динамическая вязкость, Q — характерная плотность.

Понятие П. с. для анализа движения жидкости при больших числах Рейнольдса было предложено Л. Прандтлем (1904). Согласно Прандтлю задача об обтекании тела потоком вязкой жидкости распадается на две самостоятельные задачи: задачу об обтекании тела потоком идеальной жидкости, которая описывается Эйлера уравнениями, и задачу о движении вязкой жидкости в П. с., которая описывается уравнениями П. с. (уравнениями Прандтля). При этом, чтобы получить уравнения ламинарного пограничного слоя, используют уравнения Навье — Стокса; уравнения же турбулентного пограничного слоя получают из уравнений Рейнольдса.

В отличие от уравнений Навье — Стокса и Рейнольдса, полученная система уравнений относится к параболическому типу; при её интегрировании величины u(,)(x) и р(х) — известные функции, представляющие собой распределения соответствующих величин вдоль поверхности тела при обтекании его потоком идеальной жидкости. Вследствие этого значительно упрощается математический анализ задачи.

Прандтль получил уравнения П. с. для ламинарного течения около прямолинейной стенки путём оценки обусловленных вязкостью и инерционностью членов, входящих в уравнения Навье — Стокса, и сохранением только главных членов. Он показал, что толщина П. с.

(δ)Пограничный слойO((ε)), uПограничный слойO(l), (υ)Пограничный слойO((ε)),

где (ε) = Re-0,5.

В 1927 немецкий учёный Р. Мизес (R. Mises) дал более формализованный, но вместе с тем и более строгий вывод уравнений П. с. Рассматривая плоскопараллельное ламинарное течение жидкости около криволинейной поверхности, он записал уравнение неразрывности и уравнения Навье — Стокса в безразмерном виде и произвёл преобразования:

y = (ε)Y, (υ) = (ευ).

Если в преобразованных уравнениях совершить предельный переход (ε→)0, то получаются уравнения П. с., то есть они являются предельной формой уравнений Навье — Стокса, получающейся в определенных условиях при Re(→∞). В последующие годы была установлена более глубокая, асимптотическая природа такого подхода к решению задачи.

Уравнения плоского П. с. после некоторых преобразований могут быть приведены к интегральному соотношению Т. Кармана (1921).

Уравнения П. с. явились мощным и эффективным инструментом исследования прикладных задач; с другой стороны, развитие теории П. с. происходило под влиянием запросов практики, в первую очередь со стороны авиации. Примерно до начала 40-х гг., когда скорости движения самолётов были относительно невелики и можно было не учитывать сжимаемость воздуха, основное внимание уделялось исследованию несжимаемого П. с. Поскольку внимание акцентировалось на аэродинамику крыла, а самолёты имели крылья большого удлинения, рассматривался преимущественно двумерный П. с. В силу слабого развития вычислительной техники применялись главным образом приближённые методы анализа (точные методы использовались для решения частных задач, когда уравнения П. с. сводятся к обыкновенному дифференциальному уравнению — автомодельные решения). Большая группа приближённых методов основана на использовании интегрального соотношения Кармана, когда несущественна «тонкая» структура П. с. и необходимо определить с приемлемой для практики точностью сопротивление трения. Для этого профиль скорости и аппроксимируется некоторым выражением (например, с помощью интеграла ошибок

u/ue = erf(a(x)y),

которое после удовлетворения граничным условиям содержит неизвестную функцию от х. Если аппроксимирующее выражение подставить в интегральное соотношение Кармана, то после выполнения всех операций получается обыкновенное дифференциальное уравнение для определения неизвестной функции. Это уравнение интегрируется каким-либо известным способом. Среди методов этой группы наиболее известен метод Кармана — Польхаузена, основанный на использовании П. с. конечной толщины и на аппроксимации профиля скорости полиномом четвёртой степени. Использование интегральных соотношений высших порядков позволяет аппроксимировать профиль скорости выражением, которое содержит большое число неизвестных функций. Это приводит к повышению точности расчёта с одновременным увеличением трудоёмкости вычислений.

В период Второй мировой войны скорости полёта значительно возросли; при расчёте аэродинамических характеристик самолётов возникла необходимость учитывать сжимаемость среды, и поэтому стала интенсивно развиваться теория сжимаемого П. с. (в основном применительно к совершенному газу). Здесь большую роль сыграло преобразование А. А. Дородницына (1942), которое уравнения сжимаемого П. с. приводит к виду, очень близкому к уравнениям несжимаемого П. с. В это же время усилился интерес к осесимметричному П. с., поскольку носовые части фюзеляжей самолётов стали выполняться в виде осесимметричных тел. В теории осесимметричного П. с. важную роль сыграло преобразование Манглера (1945) — Степанова (1947), с помощью которого уравнения осесимметричного П. с. сводятся к уравнению плоского П. с., и, следовательно, эти два разных типа течения можно исследовать по одной и той же методике. В последующие годы в связи с выходом на сверхзвуковые скорости полёта и применением крыльев малого удлинения стало много внимания уделяться исследованию трёхмерного П. с.; Успехи в этом направлении во многом обусловлены появлением и быстрым развитием ЭВМ и разработкой точных методов численного анализа.

При сверхзвуковых скоростях движения самолетов и других летательных аппаратов имеет место аэродинамическое нагревание обтекаемой поверхности, которое также исследуется в рамках теории П. с. В связи с этим началась интенсивная разработка теории и методов анализа П. с. для сложных моделей движущейся среды: газ с постоянным молекулярным весом и переменный удельными теплоёмкостями, Равновесно диссоциирующий газ и др. При том большую роль начинают играть различные эффекты (излучение, явление поглощения энтропийного слоя в П. с. и т. д.), которые не встречались при дозвуковых скоростях движения или их значение было несущественно. Однако наличие мощных ЭВМ и эффективных методов численного анализа позволяет успешно решать всё возрастающие по трудности прикладные задачи.

В рамках уравнений П. с. можно эффективно исследовать другие типы течений, например, истечение жидкости или газа из отверстий и насадков, течение в дальнем следе за телом и другие. Авиация: Энциклопедия. — М.: Большая Российская Энциклопедия

Главный редактор Г.П. Свищев

1994