Словарь русских фамилий - асауленко

Есаул офицерский чин в казачьих войсках, соответствовавший армейскому капитану. (Ф).

Фамилия записана в Воронеже и Кирове. Ее основа эсаул (нередко в написании есаул, асаул) 'офицерский чин в дореволюционных казачьих войсках'. (Н).

Асауленко. Фамилия из запросов посетителей. Очевидно, от той же основы но только украинская (-енко) а замена Е А могла произойти и на стадии фамилии.