Большая Советская энциклопедия - алгебра логики

раздел математической логики, изучающий высказывания, рассматриваемые со стороны их логических значений (истинности или ложности), и логические операции над ними. А. л. возникла в середине 19 в. в трудах Дж. Буля (См. Буль) и развивалась затем в работах Ч. Пирса, П. С. Порецкого (См. Порецкий), Б. Рассела, Д. Гильберта и др. Создание А. л. представляло собой попытку решать традиционные логические задачи алгебраическими методами. С появлением теории множеств (70-е гг. 19 в.), поглотившей часть первоначального предмета А. л., и дальнейшим развитием математической логики (последняя четверть 19 в. — 1-я половина 20 в.) предмет А. л. значительно изменился. Основным предметом А. л. стали высказывания (См. Высказывание). Под высказыванием понимается каждое предложение, относительно которого имеет смысл утверждать, истинно оно или ложно. Примеры высказываний: «кит — животное», «все углы — прямые» и т. п. Первое из этих высказываний является, очевидно, истинным, а второе — ложным. Употребляемые в обычной речи логические связки «и», «или», «если..., то...», «эквивалентно», частица «не» и т. д. позволяют из уже заданных высказываний строить новые, более «сложные» высказывания. Так, из высказываний «х > 2», «х ≤ 3» при помощи связки «и» можно получить высказывание «x>2 и х ≤ 3», при помощи связки «или» — высказывание «x>2 или х ≤ 3», при помощи связки «если..., то...» — высказывание «если x > 2, то х ≤ 3» и т. д. Истинность или ложность получаемых таким образом высказываний зависит от истинности и ложности исходных высказываний и соответствующей трактовки связок как операций над высказываниями.

Связки. Формулы. В А. л. для обозначения истинности вводится символ и для обозначения ложности — символ Л. Часто вместо этих символов употребляются числа 1 и 0. Связки «и», «или», «если..., то...», «эквивалентно» обозначаются соответственно знаками & (конъюнкция), ∨ (дизъюнкция), → (импликация), Алгебра логики (эквивалентность); для отрицания вводится знак ^- (чёрточка сверху). Наряду с индивидуальными высказываниями, примеры которых приводились выше, в А. л. используются также т. н. переменные высказывания, т. е. такие переменные, значениями которых могут быть любые наперёд заданные индивидуальные высказывания. Далее индуктивно вводится понятие формулы, являющееся формализацией понятия «сложного» высказывания; через А, В, С,... обозначаются индивидуальные, а через X, Y, Z ,... — переменные высказывания. Каждая из этих букв называются формулой. Если знаком * обозначить любую из перечисленных выше связок, а ℑ и ℜ суть формулы, то (ℑ* ℜ) и .