Большая Советская энциклопедия - алгебраическая функция

функция, удовлетворяющая алгебраическому уравнению (См. Алгебраическое уравнение). А. ф. принадлежат к числу важнейших функций, изучаемых в математике. Из них многочлены и частные многочленов [например,

называются рациональными, а прочие А. ф. — иррациональными. Простейшими примерами последних могут служить А. ф., выражаемые с помощью радикалов [например,

Однако существуют А. ф., которые невозможно выразить через радикалы [например, функция у = f (х), удовлетворяющая уравнению: y⁵ + 3ух⁴ + x⁵ = 0]. Примерами неалгебраических, т. н. трансцендентных функций (См. Трансцендентные функции), встречающихся в школьном курсе алгебры, являются: степенная x^α (если α — иррациональное число), показательная а^х, логарифмическая и т. д. Общая теория А. ф. представляет обширную математическую дисциплину, имеющую важные связи с теорией аналитических функций (См. Аналитические функции) (А. ф. составляют специальный класс аналитических функций), алгеброй и алгебраической геометрией (См. Алгебраическая геометрия). Самая общая А. ф. многих переменных u = f(x, у, z, ...) определяется как функция, удовлетворяющая уравнению вида:

Ро(х, у, z, ...)uⁿ + P1(x, y, z, ...)u^n-1 + … +Pn(x, y, z, ...) = 0, (1)

где Р0, Р1, ..., Pn — какие-либо многочлены относительно х, у, z,... . Всё выражение, стоящее в левой части, представляет некоторый многочлен относительно х, у, z,... и n. Его можно считать неприводимым, т. е. не разлагающимся в произведение многочленов более низких степеней; кроме того, многочлен P0 можно считать не равным тождественно нулю. Если n = 1, то u представляет рациональную функцию (u = -P1/P0), частным случаем которой — целой рациональной функцией — является многочлен (если P0 = const ≠ 0). При n > 1 получается иррациональная функция; если n = 2, то она выражается через многочлены с помощью квадратного корня; если n = 3 или n = 4, то для u получается выражение, содержащее квадратные и кубические корни.

При n ≥ 5 число каких бы то ни было корней из многочленов. Иррациональная А. ф. всегда многозначна, а именно (при наших обозначениях и предположениях) является n-значной аналитической функцией переменных х, у, z,...

Лит.: Чеботарев Н. Г., Теория алгебраических функций, М. — Л., 1948.

Большая советская энциклопедия. — М.: Советская энциклопедия

1969—1978