Большая Советская энциклопедия - евклида алгоритм

способ нахождения наибольшего общего делителя двух целых чисел, двух многочленов или общей меры двух отрезков. Описан в геометрической форме в «Началах» Евклида. Для случая положительных чисел а и b, причём a ≥ b, этот способ состоит в следующем. Деление с остатком числа а на число b всегда приводит к результату а = nb + b1, где частное n — целое положительное число, а остаток b1 — либо 0, либо положительное число, меньшее b (0 ≤ b1 < b). Будем производить последовательное деление:

где все ni — положительные целые числа и 0 ≤ b1 < bi-1 до тех пор, пока не получится остаток, равный нулю. Этот последний остаток bk+1 можно не писать, так что ряд равенств (*) закончится так:

bk-2 = nk-1 + bk,

bk-1 = nkbk.

Последний положительный остаток bк в этом процессе и является наибольшим общим делителем чисел а и b. Е. а. служит не только для нахождения наибольшего общего делителя, но и для доказательства его существования. В случае многочленов или отрезков поступают сходным образом. В случае несоизмеримых отрезков (см. Соизмеримые и несоизмеримые величины) Е. а. оказывается бесконечным.

Большая советская энциклопедия. — М.: Советская энциклопедия

1969—1978