Большая Советская энциклопедия - форма

I

Фо́рма (лат. forma – форма, вид, образ)

1) очертания, внешний вид, контуры предмета. 2) Внешнее выражение какого-либо содержания (см. Содержание и форма). 3) Приспособление для придания чему-либо определённых очертаний (например, литейная Ф.). 4) Единая по цвету, покрою и др. признакам одежда [например, Ф. военнослужащих (см. Обмундирование военное), учащихся и др.]. См. также статьи Форма (математическая), Форма (биологическая), Музыкальная форма, Форма слова.

II

Фо́рма (математическая)

многочлен от нескольких переменных, все члены которого имеют одну и ту же степень (под степенью одночлена х^αу^β... z^γ понимают число α + β +... + γ). Теория Ф. находит применение в алгебраической геометрии, теории чисел, дифференциальной геометрии, механике и др. областях математики и её приложений.

В зависимости от числа m переменных Ф. называют бинарными (при m = 2), тернарными (при m = 3) и т.д., в зависимости от степени n их членов – линейными (при n = 1), квадратичными (при n = 2), кубичными (при n = 3) и т.д. Например, ху + 2y² + z² является тернарной квадратичной Ф. Если переменные можно разбить на группы так, чтобы каждый член Ф. линейно зависел от переменных каждой группы, то Ф. называется полилинейной. Примером полилинейной Ф. является определитель, рассматриваемый как функция своих элементов (группы, на которые разбиваются в этом случае элементы, представляют собой совокупности элементов, расположенные в одинаковых строках или столбцах). Любая Ф. может быть получена из полилинейной Ф. путём отождествления некоторых переменных. Обратно – из каждой Ф. можно путём некоторого процесса, называемого процессом поляризации, получить полилинейную Ф. Например, Ф. x² + 2x1, x2 + x² соответствует полилинейная Ф.: x1y1 + x1y2 + y1x2 + x2y2, которая в результате отождествления y1 с x1 и y2 c x2 превращается в данную Ф.: x1² + 2x1x2 + x2².

Уравнение любой алгебраической кривой на плоскости может быть записано в однородных координатах (См. Однородные координаты) в виде f (x1, x2, x3) = 0, где f – некоторая тернарная Ф. Аналогично можно дать геометрическое истолкование Ф. большего числа переменных. Геометрические свойства кривых поверхностей и т.д., не зависящие от выбора системы координат, выражаются при помощи инвариантов (См. Инварианты) Ф. Теория инвариантов является одним из основных разделов алгебраической теории Ф., находящим применение не только в алгебраической геометрии, но и в ряде др. разделов математики и её приложений.

Наиболее важными для приложений являются квадратичные формы (См. Квадратичная форма). Например, квадрат длины вектора выражается в виде квадратичной Ф. от его координат. Если механическая система при движении остаётся близкой к положению равновесия, то её кинетическая и потенциальная энергия (если они не зависят явно от времени) выражаются, соответственно, квадратичными Ф. вида: