Большая Советская энциклопедия - инварианты

(от лат. invarians, родительный падеж invariantis — неизменяющийся)

числа, алгебраические выражения и т. п., связанные с каким-либо математическим объектом и остающиеся неизменными при определенных преобразованиях этого объекта или системы отсчёта, в которой описывается объект. Чтобы охарактеризовать какую-либо геометрическую фигуру и её положение с помощью чисел, обычно приходится вводить некоторую вспомогательную систему отсчёта или систему координат. Полученные в такой системе числа x1, x2,..., xn характеризуют не только изучаемую геометрическую фигуру, но и её отношение к системе отсчёта, и при изменении этой системы фигуре будут отвечать другие числа x'1, х'2,..., х'n. Поэтому если значение какого-либо выражения f (x1, x2,..., xn) характерно для фигуры самой по себе, то оно не должно зависеть от системы отсчёта, т. е. должно выполняться соотношение

f (x1, x2,..., xn) = f (x'1, x'2,..., x'n). (1)

Все выражения, удовлетворяющие соотношению (1), называются инвариантами. Например, положение отрезка M1M2 на плоскости определяется в прямоугольной системе координат двумя парами чисел x1, y1 и x2, y2 — координатами его концов M1 и M2. При преобразовании координатной системы (путём смещения её начала и поворота осей) точки M1 и M2 получают другие координаты x'1, у'1 и x'2, у'2, однако (x1 — x2)² + (y1 — y2)² = (x'1 — x'2)² + (y'1 — у'2)². Поэтому выражение (x1 — x2)² + (y1 — — y2)² является И. преобразования прямоугольных координат. Геометрический смысл этого И. ясен: это квадрат длины отрезка M1M2.

Кривая 2-го порядка в прямоугольной системе координат задаётся уравнением 2-й степени

ax² + 2bxy + cy² + 2dx + 2ey + f = 0, (2)

коэффициенты которого можно рассматривать как числа, определяющие кривую. При преобразовании прямоугольных координат эти коэффициенты изменяются, но выражение