Большая Советская энциклопедия - предел

одно из основных понятий математики. П. — постоянная, к которой неограниченно приближается некоторая переменная величина, зависящая от другой переменной величины, при определённом изменении последней. Простейшим является понятие П. числовой последовательности, с помощью которого могут быть определены понятия П. функции, П. последовательности точек пространства, П. интегральных сумм.

Предел последовательности. Пусть задана последовательность действительных чисел xn, n = 1, 2,... Число а называется пределом этой последовательности, если для любого числа ε > 0 существует такой номер nε, что для всех номеров n ≥ nε выполняется неравенство |xn — a| < ε. В этом случае пишется

(lim — первые буквы латинского слова limes), или

xn → a при n → ∞.

Если последовательность имеет П., то говорят, что она сходится. Так, последовательность 1/n, n = 1, 2,..., сходится и имеет своим П. число 0. Не всякая последовательность имеет П., например последовательность 1, —1, 1,..., (—1) ⁿ⁺¹,... не имеет П. Последовательность, не имеющая П., называется расходящейся. На геометрическом языке существование у последовательности П., равного а, означает, что каждая окрестность точки а содержит все члены данной последовательности, за исключением, быть может, их конечного числа.

Для П. последовательностей имеют место формулы