Большая Советская энциклопедия - предельные теоремы

теории вероятностей, общее название ряда теорем вероятностей теории (См. Вероятностей теория), указывающих условия возникновения тех или иных закономерностей в результате действия большого числа случайных факторов. Исторически первые П. т. — теорема Бернулли (1713) и теорема Лапласа (1812) — относятся к распределению отклонений частоты появления некоторого события Е при n независимых испытаниях от его вероятности р (0 < р < 1). Частотой называется отношение m/n, где m — число наступлений события Е при n испытаниях (точные формулировки см. в ст. Бернулли теорема и Лапласа теорема). С. Пуассон (1837) распространил эти теоремы на случай, когда вероятность pk наступления Е в k-м испытании может зависеть от k, описав предельное поведение при n → ∞ распределения отклонений частоты m/n от среднего арифметического 0 вероятность неравенства

стремится к нулю при n → ∞.

Широкие условия приложимости закона больших чисел найдены впервые П. Л. Чебышевым (в 1867) (см. Больших чисел закон). Эти условия затем были обобщены А. А. Марковым (старшим). Вопрос о необходимых и достаточных условиях приложимости закона больших чисел был окончательно решен А. Н. Колмогоровым (1928). В случае, когда величины Xn имеют одну и ту же функцию распределения, эти условия, как показал А. Я. Хинчин (1929), сводятся к одному: величины Xn должны иметь конечные математические ожидания.

Центральная предельная теорема. Говорят, что к последовательности (*) применима центральная предельная теорема, если при любых z1 и z2 вероятность неравенства

z1Bn