Большая Советская энциклопедия - тензорное исчисление

математическая теория, изучающая величины особого рода — тензоры, их свойства и правила действий над ними. Т. и. является развитием и обобщением векторного исчисления (См. Векторное исчисление) и теории матриц (См. Матрица). Т. и. широко применяется в дифференциальной геометрии, теории римановых пространств, теории относительности, механике, электродинамике и других областях науки.

Для описания многих физических и геометрических фактов обычно вводится та или иная система координат, что позволяет описывать различные объекты при помощи одного или нескольких чисел, а соотношения между объектами — равенствами, связывающими эти числа или системы чисел. Некоторые из величин, называемые скалярными (масса, температура и т. д.), описываются одним числом, причём значение этих величин не изменяется при переходе от одной системы координат к другой (мы рассматриваем здесь физические явления с точки зрения классической физики). Другие величины — векторные (сила, скорость и т. д.), описываются тремя числами (компонентами вектора), причём при переходе от одной системы координат к другой компоненты вектора преобразуются по определённому закону. Наряду со скалярными и векторными величинами встречаются во многих вопросах физики и геометрии величины более сложного строения. Эти величины, называемые тензорными, описываются в каждой системе координат несколькими числами (компонентами тензора), причём закон преобразования этих чисел при переходе от одной системы координат к другой более сложен, чем для векторов (точные определения будут даны ниже). При введении координатной системы, помимо чисел, описывающих сам объект или физическое явление, появляются числа, описывающие его связь с выбранной системой координат. Рассмотрим, например, совокупность чисел Jij (i, j = 1, 2, 3), где Jij — осевой Момент инерции твёрдого тела относительно оси Xi, a Jij, (при i ≠j) — центробежные моменты инерции, взятые с обратным знаком. При переходе от одной системы координат к другой осевой момент инерции Jii меняется (так как меняется положение оси xi относительно тела), а потому Jii не может рассматриваться как физическая величина, имеющая независимый от выбора системы координат смысл. Это находит своё выражение, например, в том, что знание Jii в одной системе координат не позволяет найти Jii в другой системе координат. В то же время совокупность всех чисел Jij имеет смысл, независимый от выбора координатной системы. Знание всех чисел Jij в одной системе прямоугольных координат позволяет найти их в любой другой системе прямоугольных координат по формуле .