Большая Советская энциклопедия - векторное исчисление

математическая дисциплина, в которой изучают свойства операций над Векторами евклидова пространства. При этом понятие вектора представляет собой математическую абстракцию величин, характеризующихся не только численным значением, но и направленностью (например, сила, ускорение, скорость).

Возникновение и развитие В. и. Возникновение В. и. тесно связано с потребностями механики и физики. До 19 в. для задания векторов использовался лишь координатный способ, и операции над векторами сводились к операциям над их координатами. Лишь в середине 19 в. усилиями ряда учёных было создано В. и., в котором операции проводились непосредственно над векторами, без обращения к координатному способу задания. Основы В. и. были заложены исследованиями английского математика У. Гамильтона и немецкого математика Г. Грасмана по гиперкомплексным числам (1844—50). Их идеи были использованы английским физиком Дж. К. Максвеллом в его работах по электричеству и магнетизму. Современный вид В. и. придал американский физик Дж. Гиббс. Значительный вклад в развитие В. и. внесли русские учёные. В первую очередь следует отметить работы М. В. Остроградского. Им была доказана основная теорема векторного анализа (см. Остроградского формула). Исследования казанского математика А. П. Котельникова по развитию винтового исчисления (См. Винтовое исчисление) имели важное значение для механики и геометрии. Эти исследования были продолжены советскими математиками Д. Н. Зейлигером и П. А. Широковым. Большое влияние на развитие В. и. имела книга «Векторный анализ», написанная в 1907 русским математиком П. О. Сомовым.

Векторная алгебра. Вектором называют направленный отрезок (рис. 1), то есть отрезок, у которого указаны начало (называется также точкой приложения вектора) и конец. Длина направленного отрезка, изображающего вектор, называется длиной, или модулем, вектора. Длина вектора a обозначается |a|. Векторы называются коллинеарными, если они лежат либо на одной прямой, либо на параллельных прямых. Два вектора называются равными, если они коллинеарны, имеют одинаковую длину и одинаково направлены. Все нулевые векторы считаются равными. Изображенные на рис. 1 векторы а и b коллинеарны и равны. В В. и. рассматриваются свободные векторы.

В векторной алгебре важную роль играют линейные операции над векторами: операция сложения векторов и умножения вектора на действительное число. Суммой а + b векторов а и b называют вектор, идущий из начала вектора а в конец вектора b при условии, что начало вектора b приложено к концу вектора а (рис. 2). Происхождение этого правила связано с правилом параллелограмма сложения векторов (рис. 3), источником которого является экспериментальный факт сложения сил (векторных величин) по этому правилу. Построение суммы нескольких векторов ясно из рис. 4. Произведением αа вектора а на число α называется вектор, коллинеарный вектору а, имеющий длину, равную lαl^. lal, и направление, совпадающее с направлением а при α > 0 и противоположное а при α < 0. Вектор —1 · а называется противоположным вектору а и обозначается —а. Операции сложения векторов и умножения вектора на число обладают следующими свойствами:

1) а + b = b + a,

2) (a + b) + c = a + (b + c),

3) а + 0 = а,

4) a + (-a) = 0,

5) 1 · a = a,

6) α(βa) = (αβ) a,

7) α(a + b) = αа + αb,

8) (α + β) a = αa + βa.

В векторной алгебре часто используется понятие линейно зависимых и линейно независимых векторов. Векторы a1, a2,..., an называются линейно зависимыми, если найдутся такие числа α1, α2,..., αn из которых хотя бы одно отлично от нуля, что линейная комбинация (α1a1 +...+ αnan) этих векторов равна нулю. Векторы a1, a2,..., an, не являющиеся линейно зависимыми, называются линейно независимыми. Отметим, что любые три ненулевых вектора, не лежащие в одной плоскости, являются линейно независимыми.

Векторы евклидова пространства обладают следующим свойством: существуют три линейно независимых вектора, любые же четыре вектора линейно зависимы. Это свойство характеризует трехмерность рассматриваемого множества векторов. В сочетании с перечисленными выше свойствами указанное свойство означает, что совокупность всех векторов евклидова пространства образует, так называемое, Векторное пространство. Линейно независимые векторы e2, e2, e3, образуют базис. Любой вектор а может быть единственным образом разложен по базису: а = Xe2 + Ye2 + Ze3; коэффициенты X, Y, Z называются координатами (компонентами) вектора а в данном базисе. Если вектор а имеет координаты X, Y, Z, то это записывают так: а = {X, Y, Z}. Три взаимно ортогональных (перпендикулярных) вектора, длины которых равны единице и которые обычно обозначают так: i, j, k, образуют, так называемый ортонормированный базис. Если эти векторы поместить началами в одну точку О, то они образуют в пространстве декартову прямоугольную систему координат. Координаты X, Y, Z любой точки М в этой системе определяются как координаты вектора ОМ (рис. 5). Указанным выше линейным операциям над векторами отвечают аналогичные операции над их координатами: если координаты векторов а и b равны соответственно {X1, Y1, Z1} и {X2, Y2, Z2}, то координаты суммы а + b этих векторов равны {X1 + X2, Y1 + Y2, Z1 + Z2}, координаты вектора λa равны {λX1 + λY1 + λZ1}.

Развитие и применение векторной алгебры тесно связано с различными типами векторных произведений: скалярного, векторного и смешанного. Понятие скалярного произведения (См. Скалярное произведение) векторов возникает, например, при рассмотрении работы силы F на заданном пути S: работа равна |F||S|cosφ, где φ — угол между векторами F и S. Математически скалярное произведение векторов а и b определяется как число, обозначаемое (а, b) и равное произведению длин этих векторов на косинус угла между ними:

(a, b) = |a||b|cosφ.

Величина |b|cosφ называется проекцией вектора b на ось, определяемую вектором а, и обозначается прab. Поэтому (a, b) = |a|прab. В частности, если a — единичный вектор (|a| = 1), то (а, b) = прab. Очевидны следующие свойства скалярного произведения:

(а, b) = (b, а), (λа, b) = λ(а, b),

(а + b, с) = (а, с) + (b, с), (a, а) ≥ 0,

причём равенство нулю имеет место лишь при a = 0. Если в ортонормированном базисе i, j, k векторы а и b имеют соответственно координаты {X1, Y1, Z1} и {Х2, Y2, Z2}, то (a, b) = X1X2 + Y1Y2 + Z1Z2,

Для определения векторного произведения (См. Векторное произведение) векторов нужно понятие левой и правой упорядоченной тройки векторов. Упорядоченная тройка векторов а, b, с (а — первый вектор, b — второй, с — третий), приведённых к общему началу и не лежащих в одной плоскости, называется правой (левой), если они располагаются так, как могут быть расположены соответственно большой, несогнутый указательный и средний пальцы правой (левой) руки. На рис. 6 изображены справа — правая, а слева — левая тройки векторов.

Векторным произведением векторов a и b называют вектор, обозначаемый [a, b] и удовлетворяющий следующим требованиям: 1) длина вектора [a, b] равна произведению длин векторов a и b на синус угла φ между ними (таким образом, если a и b коллинеарны, то [a, b] = 0); 2) если a и b неколлинеарны, то [a, b] перпендикулярен каждому из векторов a и b и направлен так, что тройка векторов a, b, [a, b] является правой. Векторное произведение обладает следующими свойствами:

[a, b] = —[b, а], [(λa), b] = λ[a, b],

[с, (a + b)] = [с, a] + [с, b], [a, [b, с]] = b (a, с) — с (a, b),

([a, b], [с, d]) = (a, c)(b, d) — (a, d)(b, c).

Если в ортонормированном базисе i, j, k, образующем правую тройку, векторы a и b имеют соответственно координаты {X1, Y1, Z1} и {X2, Y2, Z2}, то [a, b] = {Y1Z2 — Y2Z1, Z1X2 — Z2X1, X1Y2 — X2Y1}. Понятие векторного произведения связано с различными вопросами механики и физики. Например, скорость v точки М тела, вращающегося с угловой скоростью со вокруг оси l, равна [ω, r], где

Смешанным произведением векторов a, b и c называется скалярное произведение вектора [a, b] на вектор с: ([a, b], с). Обозначается смешанное произведение символом abc. Смешанное произведение не параллельных одной плоскости векторов a, b и с численно равно объёму параллелепипеда, построенного на приведённых к общему началу векторах a, b и с, взятому со знаком плюс, если тройка a, b и с правая, и со знаком минус, если тройка левая. Если же векторы a, b и с параллельны одной плоскости, то abc = 0. Справедливо также следующее свойство abc = bca = cab. Если координаты векторов a, b и с в ортонормированном базисе i, j, k, образующем правую тройку, соответственно равны {X1, Y1, Z1}, {X2, Y2, Z2} и {Х3, Y3, Z3}, то

Вектор-функции скалярных аргументов. В механике, физике, дифференциальной геометрии широко используется понятие вектор-функции одного или нескольких скалярных аргументов. Если каждому значению переменной t из некоторого множества {t} ставится в соответствие по известному закону определённый вектор r, то говорят, что на множестве {t} задана вектор-функция (векторная функция) r = r (t). Так как вектор r определяется координатами {x, y, z}, то задание вектор-функции r = r (t) эквивалентно заданию трёх скалярных функций: х = x (t), y = y (t), z = z (t). Понятие вектор-функции становится особенно наглядным, если обратиться к так называемому Годографу этой функции, то есть к геометрическому месту концов всех векторов r (t), приложенных к началу координат О (рис. 7). Если при этом рассматривать аргумент t как время, то вектор-функция r (t) представляет собой закон движения точки М, движущейся по кривой L — годографу функции r (t).

Для изучения вектор-функций важную роль играет понятие производной. Это понятие вводится следующим образом: аргументу t придаётся приращение Δt ≠ 0 и вектор Δr = r (t + Δt) — r (t) (на рис. 7 это вектор