Физическая энциклопедия - упругости теория

раздел механики, в к-ром изучаются перемещения, деформации и напряжения, возникающие в покоящихся или движущихся упругих телах под действием нагрузки. У. т.теоретич. основа расчётов на прочность, деформируемость и устойчивость в строит. деле, авиаи ракетостроении, машиностроении, горном деле и др.

областях техники и пром-сти, а также в физике, сейсмологии, биомеханике и др. науках. Объектами исследования методами У. т. являются разнообразные тела (машины, сооружения, конструкции и их элементы, горные массивы, плотины, геол. структуры, части живого организма и т. п.), находящиеся под действием сил, температурных полей, радиоактивных облучений и др.

воздействий. В результате расчётов методами У. т. определяются: допустимые нагрузки, при к-рых в рассчитываемом объекте не возникают напряжения или перемещения, опасные с точки зрения прочности или недопустимые по условиям функционирования; наиболее целесообразные конфигурации и размеры сооружений, конструкций и их деталей; перегрузки, возникающие при динамич.

воздействии, напр. при прохождении упругих волн; амплитуды и частоты колебаний конструкций или их частей и возникающие в них динамич. напряжения; усилия, при к-рых рассчитываемый объект теряет устойчивость. Этими расчётами определяются также материалы, наиболее подходящие для изготовления проектируемого объекта, или материалы, к-рыми можно заменить части организма (костные и мышечные ткани, кровеносные сосуды и т.

п.). Методы У. т. эффективно используются и для решения нек-рых классов задач пластичности теории (в методе последоват. приближений). Законы упругости, имеющие место для большинства материалов, по крайней мере при малых (а иногда и больших) деформациях, отражают взаимно однозначные зависимости между текущими (мгновенными) значениями напряжений и деформаций.

Осн. физ. закон У. т.обобщённый Гука закон, согласно к-рому напряжения линейно зависят от деформаций. Для изотропных материалов эти зависимости имеют вид: (гидростатическая) деформация, l и m постоянные Ламе. Т. о., упругие свойства изотропного материала характеризуются двумя постоянными l и m или к.-н. выраженными через них двумя модулями упругости. Равенство (1) можно также представить в виде: где s=1/3(s11+s22+s33) среднее (гидростатич.) напряжение, К модуль объёмной упругости. Для нелинейного упругого изотропного материала в равенствах (2) всюду вместо m входит коэфф. Ф(eu)/3eu, а соотношение s=3Ke заменяется равенством s=f(e), где величина eu наз. интенсивностью деформации, а функции Ф и f, универсальные для данного материала, определяются из опытов. Когда Ф(eu) достигает нек-рого критич. значения, возникают пластич. деформации. Матем. задача У. т. при равновесии состоит в том, чтобы, зная действующие внеш. силы (нагрузки) и т. н. граничные условия, определить в любой точке тела значения компонентов тензоров напряжений и деформаций, а также компоненты uх, uу, uz вектора перемещения частицы тела, т. е. определить эти 15 величин в виде функций от координат х, у, z точек тела. Исходными для решения этой задачи являются дифференциальные ур-ния равновесия: где r плотность материала, X, Y, Z проекции на координатные оси действующей на каждую частицу тела массовой силы (напр.

, силы тяжести), отнесённой к массе этой частицы. К трём ур-ниям равновесия присоединяются 6 равенств (1) в случае изотропного тела и ещё 6 равенств вида: устанавливающих зависимости между компонентами деформаций и перемещений. Когда на часть S1 граничной поверхности тела действуют заданные поверхностные силы (напр., силы контактного взаимодействия), проекции к-рых, отнесённые к единице площади, равны Fx, Fy, Fz, а для части S2 этой поверхности заданы перемещения ее точек jх, jу, jz, граничные условия имеют вид: s11l1+sl2l2 + s13l3=Fx, (5) uх=jх.

uy=jy, uz=jz, (6) где l1, l2, l3 косинусы углов между нормалью к поверхности и координатными осями. Первые условия означают, что искомые напряжения должны удовлетворять на границе S1 трём равенствам (5), а вторые что искомые перемещения должны удовлетворять на границе S2 равенствам (6); в частном случае может быть jх=jy=jz=0 (часть поверхности S2 жёстко закреплена).

Напр., в задаче о равновесии плотины массовая сила сила тяжести, поверхность S2 подошвы плотины неподвижна, на остальной поверхности S1 действуют силы: напор воды, давление разл. надстроек, трансп.

средств и т. д. В общем случае поставленная задача представляет собой пространств. задачу У. т., решение к-рой трудно осуществимо. Точные аналитич. решения имеются лишь для нек-рых частных задач: об изгибе и кручении бруса, о контактном взаимодействии двух тел, о концентрации напряжений, о действии силы на вершину конич. тела и др.

Т. к. ур-ния У. т. являются линейными, то решение задачи о совместном действии двух систем сил получается путём суммирования решений для каждой из систем сил, действующих раздельно (принцип суперпозиции). В частности, если для к.-н. тела найдено решение при действии сосредоточенной силы в к.-л. произвольной точке тела, то решение задачи при произвольном распределении нагрузок получается путём суммирования (интегрирования).

Такие решения получены лишь для небольшого числа тел (неограниченное пространство, полупространство, ограниченное плоскостью, и нек-рые др.). Предложен ряд аналитич. методов решения пространственной задачи У. т.: вариационные методы (Ритца, Бубнова Галёркина, Кастильяно и др.), метод упругих потенциалов, метод Бетти и др. Интенсивно разрабатываются численные методы (конечно-разностные, метод конечных элементов и др.

). Разработка общих методов решений пространственной задачи У. т.одна из наиболее актуальных проблем У. т. При решении плоских задач У. т. (когда один из компонентов перемещения равен нулю, а два др. зависят только от двух координат) широкое применение находят -методы теории функций комплексного переменного. Для стержней, пластин и оболочек, часто используемых в технике, найдены приближённые решения мн.

практически важных задач на основе нек-рых упрощающих предположений. Применительно к этим объектам интерес представляют задачи об устойчивости равновесия (см. УСТОЙЧИВОСТЬ УПРУГИХ СИСТЕМ). В задаче термоупругости определяются напряжения и деформации, возникающие вследствие неоднородного распределения темп-ры в теле. При матем.

постановке этой задачи в правую часть первых трёх ур-ний (1) добавляется член -(Зl+2m)aT, где a коэфф. линейного теплового расширения, Т (х1, х2, х3) заданное поле темп-ры. Аналогичным образом строится теория электромагнитоупругости и упругости тел, подвергаемых облучению. Большой практич. интерес представляют задачи У. т. для неоднородных тел.

В этих задачах коэфф. l и m в ур-нии (1) являются не константами, а функциями координат, определяющими поле упругих свойств тела, к-рое иногда задают статистически (в виде нек-рых функций распределения). Применительно к этим задачам разрабатываются статистич. методы У. т., отражающие статистическую природу свойств поликристаллич.

тел. В динамич. задачах У. т. искомые величины являются функциями координат и времени. Исходными для матем. решения этих задач являются дифф. ур-ния движения, отличающиеся от ур-ний (3) тем, что правые части вместо нуля содержат инерц. члены rд2ux/дt2 и т. д. К исходным ур-ниям должны также присоединяться ур-ния (1), (4) и, кроме граничных условий (5), (6), ещё задаваться начальные условия, определяющие, напр.

, распределение перемещений и скоростей ч-ц тела в начальный момент времени. К этому типу относятся задачи о колебаниях конструкций и сооружений, в к-рых могут определяться формы колебаний и их возможные смены, амплитуды колебаний и их нарастание или убывание во времени, резонансные режимы, динамич. напряжения, методы возбуждения и гашения колебаний и др.

, а также задачи о распространении упругих волн (сейсмич. волны и их воздействие на конструкции и сооружения, волны, возникающие при взрывах и ударах, термоупругие волны и т. д.). Одной из совр. проблем У. т. является матем. постановка задач и разработка методов их решения при конечных (больших) упругих деформациях.

Экспериментальные методы У. т. (метод многоточечного тензометрирования, поляризационно-оптический метод исследования напряжений, метод муаров и др.) позволяют в нек-рых случаях непосредственно определить распределение напряжений и деформаций в исследуемом объекте или на его поверхности. Эти методы используются также для контроля решений, полученных аналитич.

и численными методами, особенно когда решения найдены при к.-н. упрощающих допущениях. Иногда эффективными оказываются экспериментально-теоретич. методы, в к-рых частичная информация об искомых функциях получается из опытов. .