Философский словарь - антиномия

Наибольшую известность из открытых уже в 20 в. получила А., указанная Б. Расселом.

Примером достаточно простой и оригинальной А. может быть следующее рассуждение. Некоторые слова, обозначающие свойства, обладают тем самым свойством, которое они называют. Так, прилагательное "русский" само является рус, "многосложное" многосложно, а "шестислоговое" имеет шесть слогов. Такие слова, относящиеся к самим себе, называют а у -тологическими; слова, не имеющие свойства, обозначаемого ими, гетерологическими. Последних в языке подавляющее большинство: "сладкое" не является сладким, "холодное" холодным, "однослоговое" однослоговым и т.д. Разделение прилагательных на две группы представляется ясным и не вызывающим возражений. Оно может быть распространено и на существительные: "слово" само является словом, "существительное" существительным, но "стол" это не стол, а слово "глагол" не глагол, а существительное. А. обнаруживается, как только задается вопрос, к какой из двух групп относится само прилагательное "гетерологическое". Если оно аутологичсское, то обладает обозначаемым им свойством и должно быть гетерологическим. Если же оно гетерологическое, то не имеет называемого им свойства и должно быть поэтому аутологическим.

А. Рассела связана с понятием множества. Относительно каждого множества представляется осмысленным задать вопрос, является оно своим собственным элементом или нет. Напр., множество всех людей не является человеком, так же как множество стульев это не стул. Но множество, объединяющее все множества, представляет собой множество и, значит, содержит самое себя в качестве элемента. Назовем множества, не содержащие себя в качестве элемента, обычными, содержащие себя необычными и рассмотрим множество, составленное из всех обычных множеств. Поскольку это множество, о нем можно спрашивать, обычное оно или нет. Ответ, однако, оказывается обескураживающим. Если оно обычное, то, согласно своему определению, оно не должно содержать самое себя в качестве элемента, поскольку содержит все обычные множества. Но это означает, что оно является необычным множеством. Допущение, что рассматриваемое множество представляет собой обычное множество, приводит, т.о., к противоречию. Значит, оно не может быть обычным. С др. стороны, оно не может быть также необычным: необычное множество содержит самое себя в качестве элемента, а элементами рассматриваемого множества являются только обычные множества. В итоге множество всех множеств, не являющихся собственными элементами, есть свой элемент в том и только том случае, когда оно не является таким элементом. Полученное противоречие говорит о том, что такого множества не существует. Но если столь просто и ясно заданное множество не может существовать, то в чем различие между возможными и невозможными множествами? Наивное, или интуитивное, представление о множестве как сколько угодно обширном соединении в чем-то однородных объектов способно вести, т.о., к противоречию и нуждается в прояснении и уточнении.

А. Рассела не имеет специфически математического характера, ее можно переформулировать в чисто логических терминах. Рассел предложил следующий популярный вариант открытой им А. Представим, что совет какой-то деревни так определил обязанности парикмахера: брить всех мужчин деревни, которые не бреются сами, и только этих мужчин. Должен ли он брить самого себя? Если да, то он будет относиться к тем, кто бреется сам, а тех, кто бреется сам, он не должен брить. Если нет, он будет принадлежать к тем, кто не бреется сам, и, значит, он должен будет брить себя. Т.о., этот парикмахер бреет себя в том и только том случае, когда он не бреет себя. Это, разумеется, невозможно.

Необходимым признаком логической А. обычно считается логический словарь, в терминах которого она формулируется. Однако в логике нет четких критериев деления терминов на логические и внелогические. Кроме того, в логических терминах можно сформулировать и внелогические утверждения.

На первых порах изучения А. казалось, что их можно выделить по нарушению какогото еще не исследованного положения или правила логики. Особенно активно претендовал на роль такого правила введенный Расселом "принцип порочного круга", согласно которому в совокупность не должны входить объекты, определимые только посредством этой же совокупности. Все А. имеют общее свойство самоприменимость, или циркулярность. В каждой А. объект, о котором идет речь, характеризуется посредством совокупности объектов, к которой он сам принадлежит. Если мы, к примеру, говорим: "Это высказывание ложно", мы характеризуем данное высказывание путем ссылки на совокупность всех ложных высказываний, включающих и данное высказывание. Однако циркулярность свойство и многих непарадоксальных рассуждений. Такие примеры, как "самый большой из всех городов", "наименьшее из всех натуральных чисел", "один из электронов атома меди" и т.п., показывают, что далеко не всегда циркулярность ведет к противоречию. Однако провести различие между "вредной" и "безвредной" циркулярностью не удается.

А. свидетельствуют о несовершенстве обычных методов образования понятий и методов рассуждения. Они играют роль контролирующего фактора, ставящего ограничения на пути конструирования систем логики.

Один из предлагавшихся путей устранения А. выделение наряду с истинными и ложными бессмысленных высказываний. Этот путь был предложен Расселом, объявившим А. бессмысленными на том основании, что в них нарушаются требования особой "логической грамматики". В качестве последней Рассел предложил теорию типов, вводящую своеобразную иерархию рассматриваемых объектов: предметов, свойств предметов, свойств свойств предметов и т.д. Свойства можно приписывать предметам, свойства свойств свойствам и т.д., но нельзя осмысленно утверждать, что свойства свойств имеются у предметов. Напр., высказывания "Это дерево зеленое", "Зеленое это цвет" и "Цвет это оптическое явление" осмысленны, а, скажем, высказывания "Этот дом есть цвет" и "Этот дом есть оптическое явление" бессмысленны.

Исключение А. достигается также путем отказа от "чрезмерно больших множеств", подобных множеству всех множеств. Этот путь был предложен нем. математиком Е. Цермело, связавшим появление А. с неограниченным конструированием множеств. Допустимые множества были определены им некоторым списком аксиом, сформулированным так, чтобы не выводились известные А.

Были предложены и др. способы устранения А. Ни один из них не лишен, однако, недостатков.

Френкель А.А., Бар-Хиллел Й. Основания теории множеств. М., 1966; Клайн М. Математика. Утрата определенности. М., 1984.

А.А. Ивин