Философский словарь - класс (в логике и математике)

Понятие К. (множества) обычно относят к числу простейших, неопределяемых понятий, которое может быть лишь пояснено с помощью примеров. Напр., множествами считаются совокупность всех жителей Москвы; совокупность всех натуральных чисел 1, 2, 3,...; совокупность книг домашней библиотеки; и т.д. При этом каждый отдельный житель Москвы, каждое натуральное число, конкретная книга и т.д. является элементом соответствующего множества. На основе такого интуитивного понимания различают конечные и бесконечные, материальные и абстрактные, и многие др. виды множеств в зависимости от того, каковы численность и природа объектов, образующих рассматриваемую совокупность.

Несмотря на интуитивную очевидность такого "агрегатного" представления о множествах, оно не является во всех отношениях удовлетворительным. В его рамках возникает ряд трудностей принципиального характера. Как заметил еще Б. Рассел, в этом случае нельзя понять, что представляет собой пустое множество: это множество не имеет ни одного элемента и, следовательно, его нельзя рассматривать в качестве агрегата, совокупности к.-л. объектов. Применительно к одноэлементным множествам теряет смысл и различие между элементом множества и самим множеством. Кроме того, в рамках агрегатной т.зр. любое множество можно считать состоящим из любого количества элементов. Как считает У. Куайн, если мы имеем, напр., груду камней, то "груда в действительности является конкретным предметом, столь же конкретным, как и камни, образующие груду, но класс камней в груде нельзя отождествлять с этой грудой. В самом деле, если бы это было так, то и другой класс можно было бы отождествить с этой же грудой, а именно класс молекул в данной груде камней с самой грудой. Но по существу эти классы следует различать. В самом деле, мы говорим, что один из них имеет, например, сто элементов, в то время как другой триллионы элементов". Наконец, о неадекватности агрегатной т.зр. свидетельствуют и парадоксы классической теории множеств. К их числу относится, в частности, известный парадокс Рассела, во многом определивший теоретический кризис в логике и математике в нач. 20 в.

Впоследствии сформировалась логическая т.зр. на множества, в рамках которой парадоксы теории множеств получают достаточно простое объяснение. Для этого, однако, потребовалось тщательно проанализировать и уточнить многие содержательные представления, лежащие в основе самой логики. Как отмечал известный математик и логик Г. Вейль, "на понятие множества... имеются две противоположные точки зрения: множество либо рассматривается как набор вещей (Г. Кантор), либо считается синонимом свойства (атрибута, предиката) вещи. В последнем случае "х есть элемент множества у", символически "х е у", не означает ничего иного, кроме того, что "х обладает свойством у".

Согласно логической т.зр., множества суть понятия, абстрактные свойства, присущие материальным (эмпирическим, пространственно-временным) объектам. Любому понятию-множеству X соответствует определенная бесконечная совокупность материальных объектов. Эта совокупность есть объем понятия-множества X. Следовательно, принадлежность материального объектах некоторому множеству Х означает, что данному объекту присуще понятие X. Иначе говоря, теоретикомножественное отношение принадлежности (е) при ближайшем рассмотрении оказывается не чем иным, как давно известным в логике отношением п р и с у щ н о с т и (-), связывающим понятия с материальными объектами. Логическая т.зр. в конечном счете согласуется с интуитивным пониманием множеств, поскольку в ее рамках получают логическое истолкование не только отношение принадлежности, но и все остальные основополагающие отношения и понятия классической теории множеств отношение дополнения (~), включения (с), объединения (U), пересечения (П), а также понятие пустого множества (и) и универсального множества (U).

С учетом всех полученных к кон. 20 в. научных результатов можно констатировать, что в рамках логического понимания К., с одной стороны, не имеют места затруднения типа парадокса Рассела, а с другой полностью учитывается конструктивное, практически значимое содержание классической теории множеств.

Вейль Г. Математика. Теоретическая физика. М., 1984; Quine W. V.O. From a Logical Point of View. New York, 1963. B.H. Перееерзев