Энциклопедия Кольера - уравнения

Уравнением называется математическое соотношение, выражающее равенство двух алгебраических выражений. Если равенство справедливо для любых допустимых значений входящих в него неизвестных, то оно называется тождеством; например, соотношение вида (x 1)2 = (x 1)(x 1) выполняется при всех значениях переменной x. Для обозначения тождества часто вместо обычного знака равенства = пишут знак є, который читается "тождественно равно".

Тождества используются в алгебре при записи разложения многочленов на множители (как в приведенном выше примере). Встречаются они и в тригонометрии в таких соотношениях, как sin2x + cos2x = 1, а в общем случае выражают формальное отношение между двумя на первый взгляд различными математическими выражениями. Если уравнение, содержащее переменную x, выполняется только при определенных, а не при всех значениях x, как в случае тождества, то может оказаться полезным определить те значения x, при которых это уравнение справедливо.

Такие значения x называются корнями или решениями уравнения. Например, число 5 является корнем уравнения 2x + 7= 17. Уравнения служат мощным средством решения практических задач. Точный язык математики позволяет просто выразить факты и соотношения, которые, будучи изложенными обычным языком, могут показаться запутанными и сложными. Неизвестные величины, обозначаемые в задаче символами, например x, можно найти, сформулировав задачу на математическом языке в виде уравнений. Методы решения уравнений составляют в основном предмет того раздела математики, который называется теорией уравнений.

ТИПЫ УРАВНЕНИЙ

Алгебраические уравнения.

Уравнения вида fn = 0, где fn многочлен от одной или нескольких переменных, называются алгебраическими уравнениями. Многочленом называется выражение вида fn = a0 xiyj... vk + a1 xlym... vn + ј + asxpyq... vr, где x, y, ..., v переменные, а i, j, ..., r показатели степеней (целые неотрицательные числа). Многочлен от одной переменной записывается так: f(x) = a0xn + a1xn 1 + ... + an 1x + an или, в частном случае, 3x4 x3 + 2x2 + 4x 1.

Алгебраическим уравнением с одним неизвестным называется любое уравнение вида f(x) = 0. Если a0 № 0, то n называется степенью уравнения. Например, 2x + 3 = 0 уравнение первой степени; уравнения первой степени называются линейными, так как график функции y = ax + b имеет вид прямой. Уравнения второй степени называются квадратными, а уравнения третьей степени кубическими.

Аналогичные названия имеют и уравнения более высоких степеней.

Трансцендентные уравнения. Уравнения, содержащие трансцендентные функции, такие, как логарифмическая, показательная или тригонометрическая функция, называются трансцендентными. Примером могут служить следующие уравнения: отличен от нуля.

В этом случае решения уравнений не существует; уравнения несовместны. Численный пример такой ситуации система >">и отличен от нуля. В этом случае решения уравнений не существует; уравнения несовместны. Численный пример такой ситуации система ">Если же D = 0, то возможны два случая. (1) По крайней мере один из определителей и отличен от нуля.

В этом случае решения уравнений не существует; уравнения несовместны. Численный пример такой ситуации система (2) Оба определителя равны нулю. В этом случае второе уравнение просто кратно первому и существует бесконечное число решений. Общая теория рассматривает m линейных уравнений с n переменными: .