Энциклопедия Брокгауза и Ефрона - арифметически-гармоническая средняя

А.-гармоническая средняя из двух чисел получается следующим образом. Пусть данные числа суть a и h ( a. Составим их арифметическую среднюю a1 и гармоническую среднюю h1, т. е. найдем a1 = 1/2(a+h) и h1 = 2ah/(a+h); таким же образом составим а2 = 1/2(a1+h1) и h2 = 2a1h1/(a1+h1) и т. д. Числа a, a1, a2… и h, h1, h2… будут представлять — первые убывающий ряд, вторые — возрастающий. Все числа первого ряда больше всех чисел второго, и оба ряда стремятся к одному и тому же пределу, который и есть А.-г. средняя. Означим ее АН. Покажем, что АН. двух чисел равно геометрической средней их. В самом деле, h1 = 2ah/(a + h) = ah/a1, след. а1h1 = ah; точно так же a2h2 = a1h1 = ah, что треб. док., наконец, aⁿhⁿ = h. Но а∞ = h∞ = b², если b есть АН между а и h; итак, b = √ah, ч. треб. док. Следствие: AH из какого-нибудь числа и единицы есть квадратный корень из этого числа, т. е. АН (а, 1) = √а. Итак, чтобы найти √a, можно поступить следующим образом: найти арифметическую среднюю a1 из а и 1 и гармоническую среднюю h1 из а и 1; затем арифметическую среднюю a2 из a1 и h1 и гармоническую среднюю h2 из a1 и h1 и т. д., числа аi и hi будут быстро сходиться и стремиться к пределу = √а. Прим.

------------------------------------------------------------------------------

| | а1 = 1.5000000 | h1 = 1.3333333 |

| |------------------------------------------------------|

| | а2 = 1.4166666 | h2 = 1.4117647 |

| а = 2, h = 1 |------------------------------------------------------|

| | а3 = 1.4142157 | h3 = 1.4142114 |

| |------------------------------------------------------|

| | а4 = 1.4142136 | h4 = 1.4142136, |

------------------------------------------------------------------------------

итак, √2 = 1.4142186, что и требовалось доказать.

Энциклопедический словарь Ф.А. Брокгауза и И.А. Ефрона. — С.-Пб.: Брокгауз-Ефрон

1890—1907