Энциклопедия Брокгауза и Ефрона - гессиан

Функциональным определителем n функций: f1, f2, f3,.. . fn от n независимых переменных x1, x2, x3 ... xn называется определитель вида:

df1/dx1, df1/dx2,.. . df1/dxn

df2/dx1, df2/dx2,.. . df2/dxn

......................................

......................................

dfn/dx1, dfn/dx2,.. . dfn/dxn

Если теперь под функциями f1, f2,.. . fn мы будем разуметь частные произведения некоторой функции U от n независимых переменных x1, x2,.. . xn, так что

f1 = dU/dx1, f2 = dU/dx2, f3 = dU/dx3,.. ., fn = dU/dxn,

то указанный определитель есть так называемый гессиан функции U относительно независимых переменных х1, х2, x3,.. . xn.

Такого рода определитель ввел в рассмотрение проф. Гессе в теории алгебраических линий на плоскости и алгебраических поверхностей, причем он доказал две весьма примечательные теоремы. 1) Если уравнение U = 0 в однородных координатах (см. Координаты) определяет некоторую кривую n-ого порядка, где, очевидно, U есть однородная функция n-ой степени относительно трех координат х1, х2, х3, то условие необходимое и достаточное, чтобы эта кривая была системой n прямых линий, выходящих из одной и той же точки, состоит в том, чтобы гессиан функции U, взятый относительно координат х1, х2, х3, тождественно равнялся нулю. 2) Если уравнение U = 0 в однородных координатах определяет некоторую алгебраическую поверхность в пространстве, где, очевидно, U есть однородная функция некоторой n-ой степени относительно четырех координат х1, х2, х3, x4, то условие, необходимое и достаточное для того, чтобы эта поверхность была конусом, состоит с тождественном уничтожении гессиана функции U относительно сказанных координат х1, х2, х3, x4.

Энциклопедический словарь Ф.А. Брокгауза и И.А. Ефрона. — С.-Пб.: Брокгауз-Ефрон

1890—1907