Энциклопедия Брокгауза и Ефрона - разрывность

Функция f(x) непрерывна при х = а, если при приближении х к а предел функции f(x) равен f(a); в этом случае lim f(х) = f(lim х). Если же это равенство не оправдывается, то говорят, что функция f(x) претерпевает разрыв при x=а.

Р. может появиться в следующих случаях: 1) если limf(x) не существует; 2) если limf(x) существует, но функция f(x) не имеет смысла при x = а; 3) если limf(x) и f(a) существуют, но limf(x) не = f(а).

Приведем несколько примеров.

Функция sin(1/x) — претерпевает разрыв при х = 0, так как эта функция при уменьшении численного значения х не стремится ни к какому пределу.

Функция (sinx)/x разрывна при х = 0, так как эта функция не имеет смысла при х = 0. Обыкновенно такой разрыв уничтожают, пользуясь тем, что lim[(sinx)/x] = 1. С этой целью функцию определяют двумя равенствами.

f(x) = (sinx)/x при х не = 0, f(0) = 1.

Такая функция f (х) непрерывна при х = 0.

Числовая функция f(s) = Ex, выражающая целую часть числа х, разрывна при всяком целом значении х. Если, например, х=n, то при положительном бесконечно малом h: limf(n—h) = n—1, но f(n) = n; значит limf(x) не = f(lim х).

Энциклопедический словарь Ф.А. Брокгауза и И.А. Ефрона. — С.-Пб.: Брокгауз-Ефрон

1890—1907