Энциклопедия Брокгауза и Ефрона - шаровые функции

представим себе точку M на поверхности шара, центр которого есть точка C. Предположим, что дана точка O вне шара (I) или внутри его (II).Введем обозначения: МС=R, СО=ρ, МО=r, угол МСО=ω.

Из треугольника MCO следует, чтоЭто выражение можно представить:(в случае I) или(в случае II).

Полагая cosω = x, R/ρ или ρ/R равным α, получим, что r выражается в обоих случаях через, где α < 1.

Во многих вопросах математической физики приходится 1/r разлагать в ряд. Этот вопрос приводится к разложению функции по степеням α. Выполнив это разложение, получим:где P0 = 1, P1 = x, P2 = ³/2x²-¹/2, P3 = ⁵/2x³-³/2x,... Pn =

Полученные здесь целые функции от x называются Лежандровыми функциями или, по Гауссу, шаровыми функциями.

При помощи строки Лагранжа доказывается, что Рn(x) есть n-ая производная целой функции:

(x²-1)ⁿ/1∙2∙3∙...n∙2ⁿ.

Уравнение Рn(x) = 0 имеет все корни вещественные, лежащие между -1 и +1.

Функция Рn(x) удовлетворяет дифференциальному уравнению:

(1-x²)y"-2xy' + n(n + 1)y = 0.

Между тремя последовательными функциями Pn, Pn-1 и Pn-2 имеет место соотношение:

nPn - (2n-1)xPn-1 + (n-1)Pn-2 = 0.

Из сочинений, посвященных рассматриваемому вопросу, отметим следующие: Р. G. Lejeune-Dirichlet, "Vorlesungen über die im umgekehrten Verhältniss des Quadrats der Entfernung wirkende Kräfte" (изд. доктора F. Grube'a, Лейпциг, 1876); Dr. E. Heine, "Handbuch der Kugelfunctionen. Theorie und Anwendungen" (2 т., Б., 1878, 1881).

Д. С.

Энциклопедический словарь Ф.А. Брокгауза и И.А. Ефрона. — С.-Пб.: Брокгауз-Ефрон

1890—1907