Этимологический словарь Фасмера - баю

I ба́ю ба́ять, ба́ить "говорить", укр. ба́яти "рассказывать", русск.-цслав. баю, баяти "рассказывать, заговаривать, лечить", болг. ба́я "колдую", сербохорв. ба̏jати "колдовать", словен. bájati "болтать, говорить, заклинать", чеш. bájiti "говорить, болтать", польск. bajać "болтать", в.-луж. bać – то же, н.-луж. bajaś. Исконнородственно греч. φημί, дор. φαμί "говорю", φήμη, дор. φά̄μΒ̄ "голос, молва", φωνή "голос", лат. fāri "говорить", fābula "речь, рассказ", др.-исл. bón, bǿn, арм. ban "слово, речь" и т. д.; см. Бернекер 1, 39; Хюбшман 428. Сюда не относится лит. bóju, bóti "обращать внимание" – переразложение лит. atbóti, dabóti "обращать внимание, заботиться", которое заимств. из польск. dbać; см. Лескин, Bildung 457; Остен-Сакен, IF 33, 206 и сл. Дальнейшее см. выше, на ба́сня. •• [Ср. еще сев.-фризск. bālen "говорить"; см. Хольтхаузен, PBB 48, стр. 460. – Т.]

II ба́ю ба́юшки, ба́ю, отсюда (у)баю́кать. По мнению Брандта (РФВ 18, 27), это выражение связано с ба́ю "говорю". Ср., однако, бай-бай.

Этимологический словарь русского языка. — М.: Прогресс

М. Р. Фасмер

1964—1973