Этимологический словарь Фасмера - линять

линя́ть я́ю, укр. ви́линяти, полиня́ти, блр. лiня́ць, болг. линя́я, сербохорв. ли́њати "убывать, исчезать", чеш. línati "линять (о животном)", слвц. liеnit᾽sа, польск. linić (się), в.-луж. linać, н.-луж. linaś. Связано чередованием с *lěn(см. ле́нный), наряду с *lěv(ср. словен. lė̑v м. "линька у раков, змей; содранная кожа"). Дальнейшее родство неясно; сближают с гот. aflinnan "уйти, уступить" (из *linu̯ō; см. Маценауэр, LF 9, 211), др.-инд. láyatē, līуаtē, lī́уаti "прижимается, застревает, исчезает", vilínāti "расходится, растворяется", греч. ἀλί̄νω "мажу, умащаю", λιτός "гладкий", лат. linō, lēvi, litum "намазываю, мажу"; см. Бернекер 1, 722; об этой группе слов (без слав.) см. Вальде–Гофм. 1, 807 и сл.; Файст 8. По мнению Махека (Rесhеrсhеs, 75 и сл.), слав. слова родственны лит. leĩnas "тонкий, слабый", lainas "стройный".

Этимологический словарь русского языка. — М.: Прогресс

М. Р. Фасмер

1964—1973