Этимологический словарь Фасмера - нехай

неха́й "пусть, пускай", орл., курск., тамб., укр. неха́й, хай, неха́ти "оставлять, пускать", блр. неха́й, неха́ць, болг. неха́я "живу беспечно, беззаботно", словен. neháti, nеhа̑m "переставать, сбавлять", чеш. nechati, nechám "переставать, оставлять в покое", слвц. nесhаt᾽, польск. niechać "допускать", в.-луж. njechać, н.-луж. ńесhаś, nолаб. néchat "пускать". Связано с болг. ха́я "проявляю заботу", сербохорв. ха̏jати, ха̏jе̑м "заботиться", словен. hájati, hájam (hájem) – то же; см. Бернекер 1, 382; Преобр. I, 603 и сл. В отличие от них Махек ("Studie", 108; см. также Коржинек, ZfslPh 13, 404; Махек и Френкель, "Slavia", 13, 24) считает исходным пов. *nехаji, которое он производит от *nехоvаji и сближает с хоvаti "прятать, стеречь". Затруднительно фонетически, хотя аналогичные императивные формы обнаруживают подчас своеобразные изменения, как, напр., нов.-греч. ἄς "пусти, пусть" из ἄφες (см. Хацидакис, Einl. 16, 309).

Этимологический словарь русского языка. — М.: Прогресс

М. Р. Фасмер

1964—1973