Этимологический словарь русского языка - баять

Общеслав. Суф. производное (по аналогии с даяти, лияти, пияти, ср. подаяние, влияние, пиявка) от бати, в других славянских языках еще известного (ср. чешск. báti «рассказывать», в.-лужицк. bać «фантазировать» и др.). Общеслав. bati родственно лат. fāri «говорить», арм. ban «слово», латышск. bóti «спрашивать» и т. д.

Школьный этимологический словарь русского языка. Происхождение слов. — М.: Дрофа

Н. М. Шанский, Т. А. Боброва

2004