Этимологический словарь русского языка - изгой

Искон. Производное изгоить «выгнать, выжить», в диг лектах еще известного, преф. производного от гоить «заживлять» «исцелять», являющегося каузативом от жить (буквально — «заставлять жить»). Изгой исходно — «выжитый, изгнанный» (из семьи, рода-племени и т. д.). Развитие противоположного значения в глаголе изгоить подобно тому, что в выжить «уцелеть» и «выгнать», урод и польск. uroda «красота» и др.

Школьный этимологический словарь русского языка. Происхождение слов. — М.: Дрофа

Н. М. Шанский, Т. А. Боброва

2004