Этимологический словарь русского языка - качать

Общеслав. Соврем. форма — из *katjati (tj > ч, конечное безударное и отпало), производного многократного характера *kotiti «катить» (с удлинением о > а), ср. др.-рус. котитися «катиться», того же корня, что и диал. котошить «валять», греч. kata «вниз», хетт. katta- «вниз». Первоначальное значение котить — «бросать вниз, закатывать вниз» (ср. закат), затем — «метать, бросать» и далее — «катить». Исходное значение качать — «двигать вверх-вниз», затем — «качать». См. котиться.

Школьный этимологический словарь русского языка. Происхождение слов. — М.: Дрофа

Н. М. Шанский, Т. А. Боброва

2004